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Exponentialfunktion ableiten

f(x) = 4^(2x+5) ableiten über die Kettenregel

Eine Exponentialfunktion hat als Grundbaustein im Funktionsterm ein Zahl-hoch-x. Die Ableitung davon ist immer ln(Zahl)·[Zahl-hoch-x]. Treten im Exponenten neben dem x noch weitere Rechnungen oder Zahlen auf, so wendet man zum ableiten die Kettenregeln an. Das wird im Folgenden an einem Beispiel gezeigt.

Definition

◦ Bei einer Exponentialfunktion steht das x immer irgendwo in einem Exponenten.
◦ Die Basis des Exponenten darf kein x enthalten.
◦ Die Basis darf aus beliebigen Zahlen bestehen.
◦ Ist die Basis die Eulersche Zahl e spricht man von einer e-Funktion.
◦ Jede e-Funktion ist eine Exponentialfunktion.
◦ Nicht jede Exponentialfunktion ist eine e-Funktion.
◦ Hier wird beschrieben, wie man irgendeine Exponentialfunktion ableiten kann.

Ableitung

◦ Grundregel: f(x) = a^x wird abgeleitet zu f'(x) = a^x·ln(a)
◦ Für e als Basis: f(x) = e^x wird abgeleitet zu f'(x) = e^x
◦ Diese Grundregel kann kombiniert werden mit der => Kettenregel für Ableitungen
◦ Die Kettenregel lautet: innere Ableitung mal äußere Ableitung

Beispiel I

◦ f(x) = 4^x
◦ f'(x) = 4^x·ln(4)

Beispiel II

◦ f(x) = 4^(2x+5)
◦ Kettenregel anwenden:
◦ Innere Funktion: 2x+5
◦ Äußere Funktion: 4^[...]
◦ Innere Ableitung: 2
◦ Äußere Ableitung: 4^[...]·ln[...]
◦ Alles zusammen: f'(x) = 2·4^[2x+5]·ln[2x+5]

Legende

^ = Hochzeichen, zum Beispiel ist 3^4=81.
ln = natürlicher Logarithmus

Siehe auch

=> Exponentialfunktion
=> Ableiten [Übersicht]