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Logarithmus

Definition | Themenübersicht => Logarithmusrechnung

Definition

Der Logarithmus ist eine feste Zahl, die eine eindeutige Beziehung zwischen zwei anderen Zahlen herstellt: die zwei anderen Zahlen sind die Basis b und der Numerus N. Der Logarithmus von N zur Basis b ist dann diejenige Zahl, mit der man die Basis b hochrechnen (potenzieren) muss, um als Ergebnis den Numerus N zu erhalten. Man erhält den Logarithmus über die Frage: Basis b hoch was gibt den Numerus N?

Beispiel

Man hat die Basis 2 und den Numerus 8. Die Frage ist dann: 2 hoch was ergibt 8? Die Antwort ist hier die Zahl 3. Also ist die 3 der Logarithmus von 8 zur Basis 2. Man schreibt in Kurzform: log₂8=3

Schreibweise

◦ logₐb
◦ Der Logarithmus von b zur Basis a
◦ Das b ist der sogenannte => Numerus
◦ Das a ist die sogenannte => Basis eines Logarithmus

Bedeutung

◦ Der Logarithmus ist die Antwort auf die Frage:
◦ Lösungsfrage: Basis hoch was gibt Potenzwert.
◦ Beispiel: log₂32
◦ Lösungsfrage: 2 hoch was gibt 32?
◦ Antwort: 2 hoch 5 gibt 32.
◦ Also: log₂8 = 5

Definition

◦ Die gesuchte Hochzahl heißt auch Exponent.
◦ Der gesuchte Exponent ist der Logarithmus.

Sprechweisen

◦ Die folgenden zwei Sätze meinen immer dasselbe:
◦ a) Der Logarithmus von 8 zur Basis 2 ist 3.
◦ b) 2 hoch 3 gibt 8.

Beispiel 10²=100

◦ In Logarithmusschreibweise: log₁₀100=2
◦ Frage: 10 hoch was gibt 100?
◦ Die 10 heißt Basis in der Potenzschreibweise.
◦ Die 10 heißt Basis in der Logarithmusschreibweise.
◦ Die 2 heißt Exponent in der Potenzschreibweise.
◦ Die 2 heißt Logarithmus in der Logarithmusschreibweise
◦ Die 100 heißt Potenzwert in der Potenzschreibweise.
◦ Die 100 heißt Numerus in der Logarithmuschreibweise.

Für welchen Zahlen gibt es den Logarithmus?

◦ Mit anderen Worten: was ist der Definitionsbereich?
◦ Der Logarithmus ist nur für echt positive Basen definiert.
◦ Echt positiv meint, dass die Basen größer als 0 sein müssen.
◦ Der Logarithmus ist nicht für die Basis 1 definiert.
◦ Der Numerus muss auch eine echt positive Zahl sein.
◦ Der Numerus darf auch 1 sein, der Logarithmus ist dann immer 0.
◦ Der Logarithmus selbst kann alle Werte annehmen, auch negative und 0.

Was ist der Nutzen des Logarithmus?

◦ Mit Logarithmen kann man Gleichungen lösen, bei denen das x ein Exponent ist.
◦ Eine Gleichung wie 10 hoch x = 200 schreibt man dazu erst in die Logarithmusschreibweise um.
◦ Logarithmus von 200 zur Basis 10 = x.
◦ Nun kann man mit einem Taschenrechner den Logarithmus bestimmen.
◦ Dieser Logarithmus ist dann auch die gesuchte Hochzahl.
◦ Mehr unter => Exponentialgleichungen über Logarithmieren

Siehe auch

=> Logarithmusrechnung [Hauptseite]
=> Basis eines Logarithmus
=> Logarithmand
=> Logarithmus
=> eng
=> qck
=> log
=> ln
=> lg
=> ld