WH54 Fachwortlexikon
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Bildbeschreibung und Urheberrecht

e-Funktion


Exponentialfunktion mit der Basis e


Basiswissen


f(x)=e^x: eine Funktion, bei der das x im Exponenten einer Potenz vorkommt und die Basis die Eulersche Zahl e (etwa 2,718) ist, heißt e-Funktion.

Kurzdefinition


◦ Allgemeiner Bauplan: f(x) = a·eᵀᵉʳᵐ ᵐⁱᵗ ˣ
◦ Wichtig: Das e ist die Basis einer Potenz.
◦ Wichtig: Das x steht im Exponenten der Potenz.

Erläuterung


◦ Die e-Funktion ist eine spezielle Exponentialfunktion:
◦ Eine Funktion der Form "a hoch x" nennt man eine Exponentialfunktion.
◦ a ist ein Platzhalter für eine beliebige reelle Zahl.
◦ Das a nennt man auch die Basis, das x ist hier der Exponent.
◦ Ist die Basis a die Eulersche Zahl e, spricht man von der e-Funktion.
◦ e ist ungefähr 2,71828, mehr unter => Eulersche Zahl

Typen


◦ ^ ist das Hochzeichen: e^x = eˣ
◦ f(x)=e^x nennt man die => einfache e-Funktion
◦ f(x)=a·e^x nennt man die => erweiterte e-Funktion
◦ f(x)=a+e^(mx+b) nennt man die => allgemeine e-Funktion
◦ Weitere Typen unter => e-Funktionen

Eigenschaften der einfachen e-Funktion


◦ y-Achsenabschnitt (0|1)
◦ Es gibt keine Nullstellen.
◦ Es gibt keine Hoch- oder Tiefpunkte.
◦ Es gibt keine Wende- oder Sattelpunkte.
◦ Die erste Ableitung von f(x)=e^x ist f(x)=e^x.
◦ Die Steigung ist an jeder Stelle gleich dem y-Wert.

Besonderheit


◦ Das Besondere an der einfachen e-Funktion ist folgende Eigenschaft:
◦ An jedem Punkt auf dem Funktionsgraphen ist die Steigung f'(x) ...
◦ vom Zahlenwert immer genau dasselbe wie der y-Wert an diesem Punkt.
◦ Man kann kurz formulieren: f'(x) = f(x)

Praktische Bedeutung


e-Funktionen sind Exponentialfunktionen. Sie sind aber deutlich leichter abzuleiten als andere Exponentialfunktion. Man kann über die Potenzgesetze jede beliebige Exponentialfunktion in eine e-Funktion umwandeln. Das erleichert zum Beispiel die Durchführung einer Kurvendiskussion. Zur Grundidee der Umwandlung, siehe unter => Potenzbasis umwandeln

Synonyme


=> Natürliche Exponentialfunktion
=> e-Funktion

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