WH54 Fachwortlexikon
Lernwerkstatt Aachen GbR
Mathematik | Physik | Chemie


Bildbeschreibung und Urheberrecht

Erste Ableitung


f'(x)


Basiswissen


Die erste Ableitung hat zwei unterschiedliche - aber zueinander passende - Bedeutungen. Es ist einmal die Ableitungsfunktion. So hat f(x)=x² die erste Ableitung f'(x)=2x. Zum anderen ist die erste Ableitung auch der Zahlenwert der Steigung für einen Punkt eines Graphen. Beide Bedeutungen werden hier gemeinsam vorgestellt.

Formale Definition


◦ Eine Funktion f(x) einmal ableiten gibt die erste Ableitung.
◦ Die erste Ableitung selbst ist wieder eine Funktion.
◦ Beispiel: f(x)=x² gibt abgeleitet f'(x)=2x
◦ Diese Funktion f'(x) heißt erste Ableitung.

Schreibweisen


◦ Es gibt verschiedene Schreibweisen.
◦ Üblich ist f'(x), sprich: f-strich von x.
◦ Seltener ist dy/dx, sprich: delta-y durch delta-x

Deutung als Steigung


◦ Setzt man in f'(x) einen x-Wert ein,
◦ dann sagt der y-Wert von f'(x),
◦ welche Steigung f(x) dort hat.
◦ Beispiel: f(x) = x²
◦ Ableiten: f'(x) = 2x
◦ Für x die Zahl 3 einsetzen: f'(x) = 2·3 = 6
◦ Also ist die Steigung am Punkt mit dem x-Wert die Zahl 6.
◦ Auch diese Zahl 6 nennt man die erste Ableitung.
◦ Mehr unter => Steigung in einem Punkt

Deutung als Änderungsverhältnis


◦ Dies ist die elemenatarste Deutung der 1. Ableitung:
◦ Setzt man in f'(x) für x eine konkrete Zahl ein, ...
◦ dann erhält man auch für f'(x) eine konkrete Zahl.
◦ Beispiel: Man f'(x) = 2x. Man setzt für x die 3 ein.
◦ Das ergibt dann für f'(x) die Zahl 6.
◦ Was bedeutet diese Zahl 6 an der Stelle x=3?
◦ Das meint: Verändert man in der Nähe von x=3 ...
◦ den x-Wert geringfügig, dann ändert sich der ...
◦ dazugehörige y-Wert (also f(x)) ungefähr 6mal so stark.
◦ Mehr dazu unter => Erste Ableitung als Änderungsverhältnis

Deutung als Änderungsrate


◦ Änderungsrate ist ein Änderungsverhältnis mit x als Zeitmaß.
◦ Auf der x-Achse ist also die Zeit aufgetragen, auf der y-Achse etwas Beliebiges.
◦ Die erste Ableitung sagt dann, wie viel mal so stark sich der y-Wert ändert ...
◦ wie der Zeitwert. Anders gesagt: das Verhältnis von y-Änderung zur Zeit-Änderung.
◦ Mehr dazu unter => Änderungsrate

Deutung im Sachzusammenhang


◦ Die Ableitung des Ortes (y) als Funktion der Zeit (x) ist die Geschwindigkeit.
◦ Oft hat die erste Ableitung eine sehr konkrete Bedeutung.
◦ Mehr dazu unter => Erste Ableitung im Sachzusammenhang

Zahlenbeispiel


◦ f(x)=x² abgeleitet gibt f'(x)=2.
◦ Setzt man z. B. x=3 in f'(x) ein, ...
◦ dann ist der y-Wert von f'(3) genau 6.
◦ Dann hat f(x) an der Stelle x=3 die Steigung 6.

Monotonie


◦ Wo f'(x) größer ist als 0, ist f(x) => streng monoton steigend
◦ Wo f'(x) kleiner ist als 0, ist f(x) => streng monoton fallend
◦ Wo f'(x) 0 oder größer ist, ist f(x) => monoton steigend
◦ Wo f'(x) 0 oder kleiner ist, ist f(x) => monoton fallend

Besondere Punkte


◦ Wert der ersten Ableitung => Steigung in einem Punkt
◦ Erste Ableitung ist Null, möglicher => Hochpunkt
◦ Erste Ableitung ist Null, möglicher => Tiefpunkt
◦ Erste Ableitung ist Null, möglicher => Sattelpunkt

Verwandte Themen













© Lernwerkstatt Aachen GbR, 2010-2021