WH54 Fachwortlexikon
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Ableitungsregeln


Zur Bildung von f'(x) aus f(x): Faktor-, Potenz-, Produkt-, Kettenregel etc.


Basiswissen


Ableiten heißt, dass man zu einer gegebenen Funktion f(x) ihre erste Ableitung f'(x) findet. f'(x) spricht man eff-strich-von-iks aus. Oft wird statt f'(x) auch y', seltener auch dy/dx geschrieben. Alle drei Schreibweisen meinen dasselbe. Grundsätzlich kann man zu jeder Funktion die Ableitung über die h-Methode auch Sekantenverfahren genannt finden. Dieses Verfahren ist jedoch sehr aufwändig. Für fast alle Funktionstypen gibt es abkürzende vereinfachte Regeln. Das sind die hier beschriebenen Ableitungsregeln.

Potenzregel


◦ f(x) = xⁿ -> f'(x) = n·xⁿ⁻¹
◦ Man hat ein x hoch einer festen Zahl n:
◦ Man schreibt den Exponenten n als Faktor vor das x.
◦ Anschließend vermindert man den Exponenten n um eins.
◦ Beispiel: f(x) = x⁴ -> f'(x) = 4 ·x³
◦ Beispiel: f(x) = x⁻³ -> f'(x) = -3·x⁻⁴
◦ Beispiel: f(x) = x¹ -> f'(x) = 1·x⁰ = 1
◦ Beispiel: f(x) = x⁰ -> f'(x) = 0·x⁻¹ = 0
◦ Mehr über => ableiten über Potenzregel

Faktorregel


◦ f(x) = k·g(x) -> f'(x) = k·g'(x)
◦ Man hat einen konstanten Faktor k vor einer Funktion stehen.
◦ Dieser Faktor k bleibt beim ableiten erhalten.
◦ Man leitet die Funktion ab; k bleibt dabei unverändert.
◦ Beispiel: f(x) = 4x³ -> f'(x) = 3·4x² = 12x²
◦ Beispiel: f(x) = 5x¹ -> f'(x) = 5
◦ Mehr unter => ableiten über Faktorregel

Summenregel


◦ f(x) = g(x) + h(x) -> f'(x) = g'(x) + h'(x)
◦ Ist ein Funktionsterm eine Summe, kann man jeden Summanden einzeln ableiten.
◦ Man sagt auch, dass man eine Summe gliedweise ableiten kann (Glied für Glied).
◦ Beispiel: f(x) = 4x³ + 3x² + 5 -> f'(x) = 3·4x² + 2·x¹ = 12x² + 2x
◦ Mehr unter => ableiten über Summenregel

Produktregel


◦ f(x) = g(x)·h(x) -> f'(x) = g'(x)·h(x) + g(x)·h'(x)
◦ Schreibweise mit u und v: f(x) = u·v -> f'(x) = u'·v + u·v'
◦ Steht das x auf zwei Seiten eines Malzeichens, muss man die Produktregel verwenden:
◦ Kurzfassung: f'(x) = links abgeleitet mal rechts + links mal rechts abgeleitet.
◦ Mehr unter => ableiten über Produktregel

Quotientenregel


◦ f(x) = g(x):h(x) -> f'(x) = [g'(x)·h(x) + g(x)·h'(x)]:h²(x)
◦ Schreibweise mit u und v: f(x) = u:v -> f'(x) = [u'·v - u·v']:v²
◦ Mehr über => ableiten über Quotientenregel

Kettenregel


◦ f(x) = f(g(x)) -> f'(x) = f'(g(x)·g'(x)
◦ Merkspruch: äußere Ableitung mal innere Ableitung
◦ Beispiel: f(x) = (2x³+4x)³ -> f'(x) = 3(6x+4)²
◦ Mehr unter => ableiten über Kettenregel

Sonderfälle


◦ Für bestimmte Funktionstypen gibt es feste Ableitungen:
◦ f(x) = sin(x) -> f(x) = cos(x)
◦ f(x) = ln(x) -> f'(x) = 1/x
◦ Mehr über => Ableitungen

Siehe auch


=> Analysis [Hauptartikel]
=> Ableitung [Bedeutung]
=> Ableiten [Verfahren]






© Sabine & Gunter Heim, 2020