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Ganzrationale Funktion ableiten


Zum Beispiel f(x)=4x³-3x²+4x-22 wird zu f'(x)=12x²-6x+4


Basiswissen


Zu den ganzrationalen Funktion gehören die konstanten Funktion, die linearen, quadratischen, kubischen, quartischen und so weiter. Das immer wiederkehrende Grundmuster ist im folgenden Beispiel enthalten: 4x³ abgeleitet gibt 12x². Zur Ableitung benötigt man nur die Summen-, die Faktor- und die Potenzregel aus den => Ableitungsregeln

Definition


◦ Jede Funktion, die man in die Form in der nächsten Zeile bringen kann, heißt ganzrational.
◦ Allgemeine Form: f(x) = ax^n + bx^(n-1) + cx^(n-2) + ex^1 + f
◦ Die Terme zwischen den Pluszeichen heißen "Glieder".
◦ Statt Pluszeichen dürfen im Term auch Minuszeichen vorkommen.
◦ Das Minuszeichen gehört dann zu dem Glied, das Glied wird negativ.

Potenzregel


◦ Aus x³ wird 3x²:
◦ Man zieht die Hochzahl von x als Faktor nach unten.
◦ Dann reduziert man die Hochzahl von x um eins.
◦ Beispiel: x hoch 14 wird abgeleitet zu 14 mal x hoch 13.

Faktorregel


◦ Faktoren vor Termen mit x bleiben erhalten:
◦ f(x)=4x³ -> f'(x)=3·4·x² oder f'(x)=12x²

Summenregel


◦ Nach der Summenregel kann man die Glieder einzeln ableiten.
◦ f(x)=x³+5x²: man kann x³ und 5x² getrennt ableiten.
◦ f(x)=x³+5x² -> f'(x)=3x²+10x

Absolutes Glied


◦ Als absolutes Glied bezeichnet man Zahlen ohne x.
◦ Sie fallen beim Ableiten grundsätzlich immer weg.
◦ Beispiel: f(x)=x²+4 -> f'(x)=2x

Beispiele


◦ f(x) = 4x^3 + 2x^2 - 5x + 16 -> f'(x) = 12x^2 + 4x - 5
◦ f(x) = 25x³ + 3x² - 40 -> f'(x) = 75x² + 6x

Legende


◦ ^ = Hochzeichen, z. B. ist 4^2=16.
◦ n = irgendeine natürliche Zahl
◦ a, b f = irgendwelche Zahlen


Siehe auch


=> Ganzrationale Funktion
=> Ableiten [Übersicht]





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