Ganzrationale Funktion
Definition
Basiswissen
Die bekanntesten ganzrationalen Funktionen sind die lineare und die quadratische Funktion, z. B. f(x)=4x+8 oder f(x)=x²-8x+15. Daneben gibt es weitere Varianten wie die konstante Funktion wie etwa f(x)=4, die kubische Funktion wie z. B. f(x)=x³ oder die Potenzfunktion. Wesentlich für diese Funktionen ist, dass das x immer nur als Basis einer Potenz vorkommt, das x nur hoch eine natürliche Zahl (oder hoch 0) gerechnet wird und das x niemals im Exponenten einer Potenz oder im Nenner eines Bruches steht.
Definition I: über den Bauplan
- Funktionsbauplan:
- Jede Funktion, die man so umformen kann, dass sie ...
- die folgende Form annimmt heißt ganzrational:
- Allgemein: f(x) = aₙ·xⁿ + aₙ₋₁·xⁿ⁻¹ + ... + a₂·x² + a₁·x¹ + a₀·x⁰
- Beispiel: f(x) = 20·x⁴ - 32·x³ + 12·x² - 4·x¹ + 8·x⁰
- n = irgendeine natürliche Zahl [einschließlich 0] ↗
- a, b f = irgendeine reelle Zahl ↗
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Definition II: über Potenzfunktionen[2]
- Summe aus Potenzfunktion:
- Eine natürlichzahlige Potenzfunktion hat immer die Form f(x) = a·x^n
- Eine Summe aus verschiedenen solchen Potenzfunktion ist eine ganzrationale Funktion.
- Das a darf jede reelle Zahl sein, das n jede natürliche Zahl (einschließlich) der Null.
- Diese Definition ist äquivalent (gleichbedeutend) zur Definition I.
Definition III
Mit dem Funktionsargument, also dem x, wird nur addiert, subtrahiert oder multipliziert. Andere Rechenarten werden mit dem x nicht ausgeführt. Jede Funktion - und nur solche Funktionen - auf die das zutrifft, nennt man ganzrational. Da x³ als Multiplikationskette (x·x·x) geschrieben werden kann, ist auch x hoch eine Zahl erlaubt.[1]
Was meint das in Worten?
- Kann man eine Funktion in eine Plusminuskette aus Vielfachen von ...
- Potenzen von x umbauen und wird x immer nur hoch einer natürlichen ...
- Zahl (einschließlich Null) genommen, dann ist die Funktion ganzrational.
- Eine solche Plusminuskette nennt man auch ein Polynom.
- Ganzrationale Funktionen heißen auch Polynomfunktionen.
Was sind die Eigenschaften der Funktionsgleichung?
- x ist immer nur Basis einer Potenz.
- x ist nie die Hochzahl (Exponent).
- x darf hoch natürliche Zahl einschließlich der Null genommen werden.
- x darf nicht hoch einer negativen Zahl genommen werden.
- x darf nicht hoch echte Kommazahl genommen werden.
- x darf nicht hoch echter Bruch genommen werden.
Wie heißen die einzelnen Teile einer ganzrationalen Funktion?
- Die einzelnen Teile zwischen Plus/minus heißen Glieder.
- Beispiel mit vier Gliedern: f(x) = 7x^3 - 3x^2 + 4x - 17
- Ein Glied mit einem x-hoch-drei heißt kubisches Glied, im Beispiel das 7x^3.
- Ein Glied mit einem x-Quadrat heißt quadratisches Glied, im Beispiel das -3x^2.
- Ein Glied nur mit x (wie x-hoch-eins) heißt lineares Glied, im Beispiel die 4x.
- Ein Glied ohne x (nur Zahl) heißt absolutes Glied, im Beispiel die -17
Wie sehen die Funktionsgraphen aus?
- Die Graphen sind immer Geraden, Parabeln oder geschwungene Linien.
- Die Graphen haben nie Knicke oder Lücken.
Wie heißen die Graphen ganzrationaler Funktionen?
- Bei linearen Funktionen (Grad 1) heißt der Graph Gerade ↗
- Bei quadratischen Funktionen heißt der Graph einfach nur Parabel ↗
- Ab dem Grad drei spricht man von Parabeln n-ten Grades (externer Link)
- Mehr unter Graphen von ganzrationalen Funktionen ↗
Was sind typische ganzrationale Funktionen?
- Die Potenzfunktion ↗
Rechenmethoden
Fußnoten
- [1] Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Seite 63. Siehe auch Der Bronstein ↗
- [2] Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 2: Eig bis Inn; 2001; ISBN: 3-8274-0437-7. Dort die Seite 234 ff.
