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Ganzrationale Funktion

Definition | Bestandteile | Eigenschaften

Die bekanntesten ganzrationalen Funktionen sind die lineare und die quadratische Funktion, z. B. f(x)=4x+8 oder f(x)=x²-8x+15. Daneben gibt es weitere Varianten wie die konstante Funktion wie etwa f(x)=4, die kubische Funktion wie z. B. f(x)=x³ oder die Potenzfunktion. Wesentlich für diese Funktionen ist, dass das x immer nur als Basis einer Potenz vorkommt, das x nur hoch eine natürliche Zahl (oder hoch 0) gerechnet wird und das x niemals im Exponenten einer Potenz oder im Nenner eines Bruches steht. Beispiele stehen unter => ganzrationale Funktionen

Definition

◦ Jede Funktion, die man so umformen kann, dass sie ...
◦ die folgende Form annimmt heißt ganzrational:
◦ Allgemein: f(x) = aₙ·xⁿ + aₙ₋₁·xⁿ⁻¹ + ... + a₂·x² + a₁·x¹ + a₀·x⁰
◦ Beispiel: f(x) = 20·x⁴ - 32·x³ + 12·x² - 4·x¹ + 8·x⁰

Legende

◦ n = irgendeine => natürliche Zahl [einschließlich 0]
◦ a, b f = irgendeine => reelle Zahl

Was meint das in Worten?

◦ Kann man eine Funktion in eine Plusminuskette aus Vielfachen von ...
◦ Potenzen von x umbauen und wird x immer nur hoch einer natürlichen ...
◦ Zahl (einschließlich Null) genommen, dann ist die Funktion ganzrational.
◦ Eine solche Plusminuskette nennt man auch ein Polynom.
◦ Ganzrationale Funktionen heißen auch Polynomfunktionen.

Definition über Potenzfunktionen

◦ Eine zweite, gleichbedeutende Definition geht über Potenzfunktionen.
◦ Jede Summe aus Potenzfunktionen und wahlweise auch einer reinen Zahl ...
◦ ist eine ganzrationale Funktion.

Was sind die Eigenschaften der Funktionsgleichung?

◦ x ist immer nur Basis einer Potenz.
◦ x ist nie die Hochzahl (Exponent).
◦ x darf hoch natürliche Zahl einschließlich der Null genommen werden.
◦ x darf nicht hoch einer negativen Zahl genommen werden.
◦ x darf nicht hoch echte Kommazahl genommen werden.
◦ x darf nicht hoch echter Bruch genommen werden.

Wie heißen die einzelnen Teile einer ganzrationalen Funktion?

◦ Die einzelnen Teile zwischen Plus/minus heißen Glieder.
◦ Beispiel mit vier Gliedern: f(x) = 7x^3 - 3x^2 + 4x - 17
◦ Ein Glied mit einem x-hoch-drei heißt kubisches Glied, im Beispiel das 7x^3.
◦ Ein Glied mit einem x-Quadrat heißt quadratisches Glied, im Beispiel das -3x^2.
◦ Ein Glied nur mit x (wie x-hoch-eins) heißt lineares Glied, im Beispiel die 4x.
◦ Ein Glied ohne x (nur Zahl) heißt absolutes Glied, im Beispiel die -17

Wie sehen die Funktionsgraphen aus?

◦ Die Graphen sind immer Geraden, Parabeln oder geschwungene Linien.
◦ Die Graphen haben nie Knicke oder Lücken.

Wie heißen die Graphen ganzrationaler Funktionen?

◦ Bei linearen Funktionen (Grad 1) heißt der Graph "Gerade".
◦ Bei quadratischen Funktionen heißt der Graph einfach nur "Parabel".
◦ Ab dem Grad drei spricht man von Parabeln n-ten Grades.
◦ Mehr unter => Graphen von ganzrationalen Funktionen

Was sind typische ganzrationale Funktionen?

◦ Die => konstante Funktion
◦ Die => proportionale Funktion
◦ Die => lineare Funktion
◦ Die => quadratische Funktion
◦ Die => kubische Funktion
◦ Die => quartische Funktion
◦ Die => Potenzfunktion

Rechenmethoden

=> Nullstellen von ganzrationalen Funktionen bestimmen => qck
=> Nullstellen von ganzrationalen Funktionen => qck
=> Ganzrationale Funktion ableiten => qck

Synonyme

=> Ganzrationale Funktion
=> Polynomfunktion

Siehe auch

=> Ganzrationale Funktionen Steckbriefaufgaben
=> Ganzrationale Funktionen [Beispiele]
=> Ganzrationale Funktionen Diskussion
=> Grad einer ganzrationalen Funktion
=> Funktionen [Listen]
=> eng