Allgemeine Normalenform in Hessesche Normalenform
Vektorrechnung
Basiswissen
Eine Ebenengleichung in allgemeiner Normalenform ist zum Beispiel x·(3|4|0)=20. Dieselbe Ebene dargestellt in der Hesseschen Normalenform ist x·(3/5|4/5|0)=4. Die Umwandlung ist hier kurz erklärt.
Grundidee
Die Hessesche Normalenform ist ein Sonderfall einer allgemeinen Normalenform, nämlich eine allgemeine Normalenform bei der der Normalenvektor genau die Länge 1 hat. Man dividiert also beide Seiten der Gleichung durch die Länge des gegebenen Normalenvektors. Damit hat der Normalenvektor die Länge 1 und man hat die Hessesche Normalenform der Ebene. (externer Link)
Erstes Zahlenbeispiel
- Man hat gegeben x·(3|4|0) = 20 als allgemeine Normalenform der Ebene ↗
- Der Vektor (3|4|0) ist der sogenannte Normalenvektor ↗
- Man berechnet seine Länge, gibt hier die Zahl 5 Vektorlänge ↗
- Man dividiert beide Seiten der Gleichung durch diese Vektorlänge.
- Links kann man dazu den gegeben Normalenvektor durch 5 dividieren.
- Das gibt den Vektor (3|4|0), siehe dazu auch Vektor durch Zahl ↗
- Rechts dividiert man einfach die Zahl d durch die Vektorlänge.
- Das gibt rechts im Zahlenbeispiel also 20 geteilt durch 5 = 4.
- Das Endergebnis ist also x·(3/5|4/5|0) = 4 ✔
- Siehe auch Hessesche Normalenform der Ebene ↗