Koordinatenform der Ebene
Vektorrechnung
Basiswissen
E: ax + by + cz = d: Jedes Tripel (Dreierpärchen) von Zahlen, das die Gleichung erfüllt steht für einen Punkt in der Ebene. Die Zahlen x=0, y=4 und z=0 passen auf die Ebenengleichung. Sie können als Koordinaten des Punktes (0|4|0) auf der Ebene gedeutet werden, daher der Name. Daneben gibt es auch noch die Veranschaulichungen über den Normalenvektor. Beides wird hier kurz erläutert.
Definition
- E: ax + by + cz = d
Legende
- Das meint: die Ebene E ist gegeben über die Gleichung ...
- Eine beispielhafte Ebene ist:
- E: 2x + 1y + 2z = 4
Deutung als Punktemenge
- Man kann für x, y und z beliebige Zahlenkombinationen einsetzen.
- Beispiel: man könnte x=8, y=4 und z=-8 einsetzen.
- Dann wird die linke Seite zu 4. Da rechts auch eine 4 steht, geht die Gleichung auf.
- 3 Zahlen in einer bestimmen Reihenfolge, wie 8, 4, -8 nennt man ein Zahlentripel.
- Alle Tripel, die man in die Gleichung einsetzen kann, sodass sie aufgeht, sind Lösungen der Gleichungen.
- Man kann jedes Zahlentripel als Koordinaten in einem 3D-Koordinatensystem deuten.
- Das Tripel 8,4,-8 ist der Punkt: (8|4|-8)
Deutung über Normalenvektor
- Wir betrachten wieder E: 2x + 1y + 1z = 4
- Die Zahlen vor x, y und z nennt man Koeffizienten.
- Die drei Koeffizienten geben ein Zahlentripel.
- Man kann sie als die Koordinaten eines Vektors deuten.
- Im Beispiel hätte man den Vektor (2 1 1).
- Dieser Vektor steht immer senkrecht zur definierten Ebene.
- Unmgekehrt weiß man dann: die Ebene ist senkrecht zu diesem Vektor.
- Es gibt unendliche viele Ebenen senkrecht zu diesem Vektor.
- Aber sie sind alle parallel zueinander. Der Vektor heißt Normalenvektor.
- Welche dieser Ebenen nun genau die definierte ist, das ist kodiert über die Zahl rechts vom Gleichzeichen.
- Für einen bestimmen Normalenvektor gilt dann: Je kleiner diese Zahl ist, desto näher ist die Ebene am Koordinatenursprung.
Punktprobe mit der Koordinatenform
Eine Punktprobe ist eine Überprüfung, ob eine gegebener Punkt auf einer gegebenen Ebene liegt oder nicht. Diese Punktprobe ist mit der Koordinatenform sehr leicht durchzuführen, leichter als zum Beispiel mit der Parameterform. Man setzt die drei Koordinaten des Punktes für die Variablen x, y und z ein und überprüft, ob die Koordinatengleichung damit aufgeht. Falls ja, liegt der Punkt auf der Ebene, ansonsten nicht.
- Der Punkt (4|2|0) wird eingesetzt in 2x + 1y + 1z = 4
- Das gibt: 2·4 + 1·2 + 1·0 = 4. Diese Aussage ist falsch.
- Der Punkt (2|2|0) liegt also nicht auf der Ebene 2x + 1y + 1z = 4.
- Siehe auch Punktprobe 3D ↗
Punkte auf der Ebene finden
Mit der Koordinatenform kann man sehr leicht Punkte finden, die auf der Ebene liegen. Muss man nur passende Zahlen für die Variablen x, y und z finden, mit denen die Ebenengleichung aufgeht. Man findet diese Zahlen oft leicht durch einsetzen, man versucht dabei oft besonders bequeme Zahlen zu verwenden. Hier sind einige Beispiele von Punkten, die durch Probieren gefunden wurden.
- (2|0|0) liegt auf 2x + 1y + 1z = 4
- (0|4|0) liegt auf 2x + 1y + 1z = 4
- (0|0|4) liegt auf 2x + 1y + 1z = 4
- (1|1|1) liegt auf 2x + 1y + 1z = 4
- Und so weiter...