WH54 Fachwortlexikon
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Bildbeschreibung und Urheberrecht

Koordinatenform der Ebene


E: ax + by + cz = d


Basiswissen


Beispiel: E: 2x+1y+2z = 4 - Jedes Tripel (Dreierpärchen) von Zahlen, das die Gleichung erfüllt steht für einen Punkt in der Ebene. Die Zahlen x=0, y=4 und z=0 passen auf die Ebenengleichung. Sie können als Koordinaten des Punktes (0|4|0) auf der Ebene gedeutet werden, daher der Namen. Daneben gibt es auch noch die Veranschaulichungen über den Normalenvenvektor. Beides wird hier kurz erläutert.

Definition


◦ E: ax + by + cz = d

Legende


◦ Das meint: die Ebene E ist gegeben über die Gleichung ...
◦ Eine beispielhafte Ebene ist:
◦ E: 2x + 1y + 2z = 4

Deutung als Punktemenge


◦ Man kann für x, y und z beliebige Zahlenkombinationen einsetzen.
◦ Beispiel: man könnte x=8, y=4 und z=-8 einsetzen.
◦ Dann wird die linke Seite zu 4. Da rechts auch eine 4 steht, geht die Gleichung auf.
◦ 3 Zahlen in einer bestimmen Reihenfolge, wie 8, 4, -8 nennt man ein Zahlentripel.
◦ Alle Tripel, die man in die Gleichung einsetzen kann, sodass sie aufgeht, sind Lösungen der Gleichungen.
◦ Man kann jedes Zahlentripel als Koordinaten in einem 3D-Koordinatensystem deuten.
◦ Das Tripel 8,4,-8 ist der Punkt: (8|4|-8)

Deutung über Normalenvektor


◦ Wir betrachten wieder E: 2x + 1y + 1z = 4
◦ Die Zahlen vor x, y und z nennt man Koeffizienten.
◦ Die drei Koeffizienten geben ein Zahlentripel.
◦ Man kann sie als die Komponenten eines Vektors deuten.
◦ Im Beispiel hätte man den Vektor (2 1 2).
◦ Dieser Vektor steht immer senkrecht zur definierten Ebene.
◦ Unmgekehrt weiß man dann: die Ebene ist senkrecht zu diesem Vektor.
◦ Es gibt unendliche viele Ebenen senkrecht zu diesem Vektor.
◦ Aber sie sind alle parallel zueinander. Der Vektor heißt Normalenvektor.
◦ Welche dieser Ebenen nun genau die definierte ist, das ist kodiert über die Zahl rechts vom Gleichzeichen.
◦ Für einen bestimmen Normalenvektor gilt dann: Je kleiner diese Zahl ist, desto näher ist die Ebene am Koordinatenursprung.

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