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Koordinatenform der Ebene


Definition und Veranschaulichung


Basiswissen


In der Mathematik, Physik oder Chemie: kurze Erklärung von Fachworten, Symbolen und Formeln

Definition


E: ax + by + cz = d


◦ Das meint: die Ebene E ist gegeben über die Gleichung ...
◦ Eine beispielhafte Ebene ist:
◦ E: 4x + 3y - 2z = 40

Deutung als Punktemenge


◦ Man kann für x, y und z beliebige Zahlenkombinationen einsetzen.
◦ Beispiel: man könnte x=8, y=4 und z=2 einsetzen.
◦ Dann wird die linke Seite zu 40. Da rechts auch eine 40 steht, geht die Gleichung auf.
◦ 3 Zahlen in einer bestimmen Reihenfolge, wie 8, 4, 2 nennt man ein Zahlentripel.
◦ Alle Tripel, die man in die Gleichung einsetzen kann, sodass sie aufgeht, sind Lösungen der Gleichungen.
◦ Man kann jedes Zahlentripel als Koordinaten in einem 3D-Koordinatensystem deuten.
◦ Das Tripel 8,4,2 könnte man auch als Punkt (8|4|2).
◦ Die Gleichung oben hat unendlich viele Lösungen.
◦ Jede Lösung kann man als einen 3D-Punkt interpretieren.
◦ Alle Lösungen zusammen ergeben die definiert Ebene.

Deutung über Normalenvektor


◦ Wir betrachten wieder E: 4x + 3y - 2z = 40
◦ Die Zahlen vor x, y und z nennt man Koeffizienten.
◦ Die drei Koeffizienten geben ein Zahlentripel.
◦ Man kann sie als die Komponenten eines Vektors deuten.
◦ Im Beispiel hätte man den Vektor (4 3 -2).
◦ Dieser Vektor steht immer senkrecht zur definierten Ebene.
◦ Unmgekehrt weiß man dann: die Ebene ist senkrecht zu diesem Vektor.
◦ Es gibt unendliche viele Ebenen senkrecht zu diesem Vektor.
◦ Aber sie sind alle parallel zueinander. Der Vektor heißt Normalenvektor.
◦ Welche dieser Ebenen nun genau die definierte ist, das ist kodiert über die Zahl rechts vom Gleichzeichen.
◦ Für einen bestimmen Normalenvektor gilt dann: Je kleiner diese Zahl ist, desto näher ist die Ebene am Koordinatenursprung.

Siehe auch


=> Ebenengleichungen [Übersicht]
=> Normalenvektor
=> Vektorrechnung
=> Koeffizient
=> 3D-Ebene
=> 3D-Punkt
=> Tripel





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