Koordinatenform in Hessesche Normalenform

Vektorrechnung

Basiswissen

Gegeben ist eine Ebene in der Koordinatenform, zum Beispiel 1x+1y+2z=8. Gesucht ist die Gleichung derselben Ebene in der sogenannten Hesseschen Normalform, das wäre hier im Beispiel: x·^{[1/√6|1√6|2/√6]}=8/√6. Die Umrechnung ist hier kurz angedeutet.

Grundidee

Man geht in zwei Schritten vor: in einem ersten Schritt wandelt man die Koordinatenform um die allgemeine Normalenform. Dann, in einem zweiten Schritt, wandelt man die allgemeine Normalenform um in die Hessesche Normalenform. Beide Schritte sind vergleichsweise einfach und brauchen keinen großen Rechenaufwand.

Zahlenbeispiel

Gegeben ist 1x+1y+2z=8 als Koordinatenform der Ebene ↗

Erster Schritt gibt x·(1|1|2)=8 als Koordinatenform in allgemeine Normalenform ↗

Zweiter Schritt gibt x·^{[1/√6|1√6|2/√6]}=8/√6 allgemeine Normalenform in Hessesche Normalenform ↗

Das Endergebnis ist die Hessesche Normalenform der Ebene ↗