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Bernoulli-Kette


Definition


Basiwissen


Eine Bernoulli-Kette ist eine Aneinanderreihung mehrerer bis sehr vieler sogenannter Bernoulli-Experimente. Ein Bernoulli-Experiment ist ein Experiment bei dem man nur zwei Ergebnisse unterscheidet (Erfolg/Misserfolg oder Treffer/nicht-Treffer) und bei dem die Wahrscheinlichkeiten immer gleich groß bleiben, auch wenn man es oft wiederholt. Die Ergebnisse einer Bernoulli-Kette sind dann die verschiedenen möglichen Anzahlen von Treffern. Das und die Berechnung sind vorgestellt.

Bernoulli-Kette


Fasst man mehrere Würfe mit einem fairen Würfel hintereinander als ein zusammengesetzes Experiment auf, so hat man eine Bernoulli-Kette. Achtmal den Würfel werfen wäre eine Bernoulli-Kette. Jeder einzelne Wurf ist dabei ein sogenanntes Bernoulli-Experiment. Man fragt dann nicht, wie groß die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer (zum Beispiel 6) bei einem der einzelnen Mini-Experimente ist. Man fragt jetzt: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P genau k Treffer zu erzielen. Auf dieser Fragestellung baut das Thema zur Bernoulli-Kette auf.

Berechnung


P(X=k) = (n über k) · p^k · (1-p)^(n-k): diese Formel steht für eine Anzahl von n einzelnen und identischen Bernoulli-Experimenten. Sie berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass man bei n Einzelexperimenten genau k Treffer erzielt. Die Formel ist ein zentrales Konzept für viele praktische Anwendungsfälle.

Beispiele


Man würfelt 8 mal hintereinander. Die Länge n der Bernoulli-Kette ist dann 8. Man unterscheidet nur die Ausgänge 6 oder nicht 6 und nennt eine 6 einen Treffer. Dann ist die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer 1/6. Nun kann man fragen, wie groß die Wahrscheinlichkeit P für die genaue Trefferzahl k=4.


Formeln zur Bernoulli-Kette



Legende



Schreibweisen


P(X=3) meint: Es kommen genau drei Treffer in der Kette vor.
P(x<3) meint: Es kommen weniger als drei Treffer in der Kette vor.
P(x>3) meint: Es kommen mehr als drei Treffer in der Kette vor.
P(x<=3) meint: Es kommen höchstens drei Treffer in der Kette vor.
P(x>=3) meint: Es kommen mindestens drei Treffer in der Kette vor.
B(n;p;k) meint: Wahrscheinlichkeit, bei Länge n mit Teilwahrscheinlichkeit p k Treffer zu erzielen.

Was ist eine Binomialverteilung?



Was ist die Normalverteilung?


Die Trefferwahrscheinlichkeiten oben sind oft sehr aufwändig zu berechnen. Es gibt aber eine Vereinfachung. Sehr lange Bernoulli-Ketten lassen sich als Normalverteilung behandeln. Normalverteilungen kann man mit Hilfe der Gauß-Funktion berechnen. Aus der Gauß-Funktion lassen sich einige Aussagen ableiten, die dann auch automatisch immer einigermaßen gut für lange Bernoulli-Ketten "mitgelten". Die wichtigsten dieser übertragbaren Aussagen sind die sogenannten Sigmaregeln ↗

Die Erderwärmung als Beispiel


Mit Hilfe von Bernoulliketten kann man gut die Wahrscheinlichkeiten berechnen, dass etwas öfters oder seltener passiert, wenn man eine größere Anzahl von Ereignissen betrachtet. Von den 110 Jahren der Zeit von 1881 bis 1990 gab es in Deutschland genau 10 Jahre, bei denen die Jahresdurchschnittstemperatur in Deutschland 9 °C oder mehr betrug. Das entspricht einer relativen Häufigkeit oder einer Wahrcheinlichkeit für solche Jahre von 9 %. Nimmt man nun an, dass sich diese Wahrscheinlichkeit nicht ändert, kann man fragen: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in den 30 Jahren von 1991 bis 2020 mehr als 50 % der Jahre 9 °C oder mehr aufweisen? Rechnerisch liegt die Wahrscheinlicheit dafür bei nahezu 0. Tatsächlich lag der Anteil von solch warmen Jahren aber mit rund 60 %. Die Wahrscheinlicheit, dass dies durch reine Zufallsschwankungen eintritt ist extrem niedrig. Diese Erhöhung des Anteils warmer Jahre deuten viele Forscher als Anzeichen für eine dauerhafte Erderwärmung. Zur Datengrundlage siehe im Artiel klimatologische Referenzperiode ↗

Aufgaben