Bernoulli-Kette

Mehrfache Wiederholung von Bernoulli-Experimenten

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Experiment bei dem

◦ man nur zwei Ergebnisse unterscheidet (Erfolg/Misserfolg)
◦ und bei dem die Wahrscheinlichkeiten immer gleich groß bleiben.

Beispiel: Ich werfe eine Münze und es kommt entweder Kopf (Erfolg) oder es kommt Zahl (Misserfolg). Der Erfolg wird oft auch "Treffer" genannt. Bei einer perfekt gleichmäßigen Münze bleibt die Erfolgswahrscheinlichkeit für Kopf immer gleich. Ein solcher Münzwurf ist ein Bernoulli-Experiment. Fasst man nun mehrere Würfe hintereinander als ein zusammengesetzes Experiment auf, so spricht man von einer Bernoulli-Kette. Neunmal die Münze werfen wäre eine Bernoulli-Kette:

K - Z - Z - K - Z - Z - Z - K - K

n = 9
p = 0,5
k = 4

n = Länge der Bernoulli-Kette = Anzahl Einzelexperimente
p = Wahrscheinlichkeit für Treffer (hier willkürlich: Kopf)
k = Anzahl der Treffer innerhalb der Kette (hier: wie oft Kopf)

Schreibweisen

P(X=3) meint: Es kommen genau drei Treffer in der Kette vor.
P(x<3) meint: Es kommen weniger als drei Treffer in der Kette vor.
P(x>3) meint: Es kommen mehr als drei Treffer in der Kette vor.
P(x<=3) meint: Es kommen höchstens drei Treffer in der Kette vor.
P(x>=3) meint: Es kommen mindestens drei Treffer in der Kette vor.
B(n;p;k) meint: Wahrscheinlichkeit, bei Länge n mit Teilwahrscheinlichkeit p k Treffer zu erzielen.

Formeln

◦ P(X=k) = [n über k] * [p hoch k] * [(1-p) hoch (n-k)]
◦ Standardabweichung Sigma = Wurzel [n*p*(1-p)]
◦ Varianz sigma-quadrat = n*p*(1-p)
◦ Erwartungswert mü = n*p

Legende

◦ P(X=k) = Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei n Wiederholungen
◦ p = Wahrscheinlichkeit für Treffer bei einem Versuch
◦ n = Länge der Kette, Anzahl der Wiederholungen
◦ k = Anzahl der Treffer

Normalverteilung

Die Trefferwahrscheinlichkeiten oben sind sehr aufwändig zu berechnen. Es gibt aber eine Vereinfachung. Sehr lange Bernoulli-Ketten lassen sich als Normalverteilung behandeln. Normalverteilungen kann man mit Hilfe der Gauß-Funktion berechnen. Aus der Gauß-Funktion lassen sich einige Aussagen ableiten, die dann auch automatisch immer einigermaßen gut für lange Bernoulli-Ketten "mitgelten". Die wichtigsten dieser übertragbaren Aussagen sind die sogenannten Sigmaregeln:

=> Sigmaregeln

Aufgaben

=> Bernoulli-Kette erkennen => qck
=> Bernoulli-Kette berechnen genaue Trefferzahl => qck
=> Bernoulli-Kette berechnen [gemischt] => qck

Synonyme

=> Bernoulli-Prozess
=> Bernoulli-Kette

Siehe auch

=> Bernoulli-Kette berechnen genaue Trefferzahl => qck
=> Standardabweichung aus Bernoulli-Kette
=> Erwartungswert aus Bernoulli-Kette
=> Bernoulli-Kette berechnen => qck
=> Bernoulli-Kette erkennen => qck
=> Bernoulli-Ketten [Beispiele]
=> Varianz aus Bernoulli-Kette
=> Treffer bei Bernoulli-Kette
=> Quasi-Bernoulli-Ketten
=> Bernoulli-Experiment
=> Binomialverteilung
=> Normalverteilung
=> n über k










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Dr. Sabine und Dr. Gunter Heim
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