WH54 Fachwortlexikon
Lernwerkstatt Aachen GbR
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Bildbeschreibung und Urheberrecht

Kollineare Vektoren


Parallel


Basiswissen


Kollineare Vektoren sind zueinander parallel. Ihre Länge ist dabei unwichtig. Die Vektoren dürfen - müssen aber nicht - unterschiedlich lang sein. Die Pfeile dürfen in unterschiedliche Richtungen zeigen (antiparallel).

Beispiel


◦ Die Vektoren (2|4|6) und (4|8|12) sind kollinear.
◦ Der zweite Vektor ist zwar doppelt so lang wie der erste ...
◦ aber beide Vektoren verlaufen im Koordinatensystem parallel.

Wie ist die mathematische Definition?


◦ Man hat zwei Vektoren gegeben: a und b
◦ Beispiel: a(2|4|8) und b(3|6|12)
◦ Wenn man den einen Vektor so mit einer Zahl multiplzieren kann,
◦ dass dabei der andere Vektor herauskommt, dann sind die beiden Vektoren kollinear.
◦ Im Beispiel oben kann man 1,5·a rechnen und erhält genau b.
◦ a und b im Beispiel sind also kollinear.
◦ Siehe auch => Zahl mal Vektor

Wie überprüft man das rechnerisch?


◦ Man nimmt einen der zwei Vektoren.
◦ Man sucht eine Zahl, mit der Folgendes geht:
◦ x-Komponente des ersten Vektors mal Zahl = x-Komponente des zweiten Vektors
◦ y-Komponente des ersten Vektors mal Zahl = y-Komponente des zweiten Vektors
◦ z-Komponente des ersten Vektors mal Zahl = z-Komponente des zweiten Vektors
◦ Es muss dieselbe Zahl für alle drei Komponenten sein.
◦ Gibt es so eine Zahl, dann sind die Vektoren kollinear.
◦ Gibt es keine solche Zahl, sind sie nicht kollinear.

Eigenschaften


◦ Kollineare Vektoren sind immer voneinander linear abhängig.
◦ Kollineare Vektoren können echt parallel oder antiparallel zueinander sein.

Gegenvektor


◦ Der Vektor (2|3|4) und (-2|-3|-4) sind Gegenvektoren.
◦ Sie unterscheiden sich nur in ihrer Orientierung.
◦ Anschaulich: die Pfeilspitzen zeigen voneinander weg.
◦ Gegenvektoren sind immer zueinander kollinear.
◦ Man nennt sie auch antiparallele Vektoren.
◦ Siehe auch => Gegenvektor

Lagen von Geraden


◦ Die Kollinearität von Vektoren kommt häufig bei folgender Fragestellung vor:
◦ Man hat zwei Geraden im 3D-Raum gegeben und soll überprüfen, ob die Geraden parallel zueiander sind.
◦ Man muss dazu nur überprüfen, ob die zwei Richtungsvektoren kollinear sind. Falls ja, sind die Gerade parallel.
◦ Mehr dazu unter => Gegenseitige Lagen von Geraden

Siehe auch


=> Gegenseitige Lagen von Geraden
=> Antiparallele Vektoren
=> Parallele Vektoren
=> Vektorrechnung
=> Kollinear





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