Gegenseitige Lagen von Geraden
Vektorrechnung
Basiswissen
Gegenseitige Lage von zwei Geraden meint, dass man untersuchen, wie sie im dreidimensionalen zueinander angeordnet sind. Normalerweise werden einige Sonderfälle unterschieden: sie sind parallel aber nicht identisch, sie sind identisch, sie haben genau einen Schnittpunkt, sie haben keinen Schnittpunkt und sind auch nicht parallel, sie stehen senkrecht aufeinander.
Parallel
◦ Man hat zwei Geraden in Parameterform gegeben.
◦ Man vergleicht die zwei Richtungsvektoren.
◦ Sind sie kollinear, dann sind die Geraden parallel zueinander.
◦ Mehr dazu unter => kollineare Vektoren
◦ Siehe auch => parallele Geraden
Parallel und identisch
◦ Identisch heißt für zwei Geraden: es sind dieselben Geraden.
◦ Jeder Punkt der einen Geraden ist auch ein Punkt der anderen Geraden
◦ Bei parallelen Geraden genügt es, wenn ein Punkt einer Geraden auch auf der anderen liegt.
◦ Dann sind automatisch alle anderen Punkte auch Teile beider Geraden.
◦ Um das überprüfen, nimmt man den Stützvektor einer der zwei Geraden.
◦ Mit ihm macht man eine Punktprobe mit der anderen Geraden.
◦ Geht die Punktprobe auf und waren die Geraden auch parallel, ...
◦ dann sind die zwei Geraden automatisch auch identisch.
◦ Mehr unter => Punktprobe 3D
Parallel und nicht identisch
◦ Man geht vor wie unter "parallel und identisch".
◦ Geht die Punktprobe am Ende nicht auf, dann ...
◦ sind die geraden => echt parallel
Es gibt genau einen Schnittpunkt
◦ Sind zwei geraden nicht parallel zueinander, können sie immer noch einen Schnittpunkt haben.
◦ Ob das so ist, erkennt man über das Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen.
◦ Findet man einen Schnittpunkt, dann ist genau das der Schnittpunkt der Geraden.
◦ Waren die Geraden nicht parallel zueinander, kann es keine weiteren Schnittpunkte geben.
◦ Zum Verfahren, siehe unter => Geradenschnittpunkte über Vektorrechnung
Windschief
◦ Sind zwei Geraden nicht parallel und haben sie auch keinen Schnittpunkt, dann sind sie windschief.
◦ Mehr dazu unter => Windschiefe Geraden
Orthogonal
◦ Stehen die zwei Richtungsvektoren der Geraden senkrecht aufeinander, ...
◦ dann sind auch die Geraden senkrechtrecht zueinander.
◦ Um das zu überprüfen, bildet man das Skalarprodukt der zwei Richtungsvektoren.
◦ Ergibt das Skalarprodukt genau 0, dann sind die Geraden senkrecht zueinander.
◦ Mehr unter => Orthogonale Geraden
Siehe auch
=> Vektorrechnung
=> Skalarprodukt
=> Windschief
=> 3D-Gerade
