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Man nennt zwei Vektoren kollinear zueinander, wenn sie als Pfeile gedacht zueinander parallel sind. Ihre Länge und wo sie in einem Koordinatensystem liegen sind dabei unwichtig. Die Vektoren dürfen müssen aber nicht - unterschiedlich lang sein. Die Pfeile dürfen auch in unterschiedliche Richtungen zeigen. Man bezeichnet sie dann sowohl als kollinear als auch als antiparallel. Das ist hier näher erklärt. © => Zurück zum Artikel


Kollineare Vektoren


Definition


Basiswissen


Man nennt zwei Vektoren kollinear zueinander, wenn sie als Pfeile gedacht zueinander parallel sind. Ihre Länge und wo sie in einem Koordinatensystem liegen sind dabei unwichtig. Die Vektoren dürfen - müssen aber nicht - unterschiedlich lang sein. Die Pfeile dürfen auch in unterschiedliche Richtungen zeigen. Man bezeichnet sie dann sowohl als kollinear als auch als antiparallel. Das ist hier näher erklärt.

Kollineare Vektoren anschaulich


Es gibt zwei anschauliche Möglichkeiten zur Überprüfung der Kollinearität von zwei oder mehr Vektoren: a) sind sie als Pfeile gedacht parallel zueinander, dann sind sie auch kollinar. Und b) kann man sie so verschieben - ohne sie dabei zu drehen - dass sie am Ende auf einer gemeinsamen Geraden liegen, dann sind sie kollinear.

Beispiele


  • Die Vektoren (1|1|1) und (4|4|4) sind kollinear ✔
  • Die Vektoren (1|1|1) und (-4|-4|-4) sind kollinear ✔
  • Die Vektoren (2|4|6) und (4|8|12) sind kollinear ✔
  • Die Vektoren (2|4|6) und (-4|-8|-12) sind kollinear ✔

Wie ist die mathematische Definition?


  • Man hat zwei Vektoren gegeben: a und b
  • Beispiel: a(2|4|8) und b(3|6|12)
  • Wenn man den einen Vektor so mit einer Zahl multiplzieren kann,
  • dass dabei der andere Vektor herauskommt, dann sind die beiden Vektoren kollinear.
  • Im Beispiel oben kann man 1,5·a rechnen und erhält genau b.
  • a und b im Beispiel sind also kollinear.

Wie überprüft man Kollinearität rechnerisch?


  • Man nimmt einen der zwei Vektoren.
  • Man sucht eine Zahl, mit der Folgendes geht:
  • x-Koordinate des ersten Vektors mal Zahl = x-Koordinate des zweiten Vektors
  • y-Koordinate des ersten Vektors mal Zahl = y-Koordinate des zweiten Vektors
  • z-Koordinate des ersten Vektors mal Zahl = z-Koordinate des zweiten Vektors
  • Es muss dieselbe Zahl für alle drei Koordinaten sein.
  • Gibt es so eine Zahl, dann sind die Vektoren kollinear.
  • Gibt es keine solche Zahl, sind sie nicht kollinear.

Eigenschaften kollinearer Vektoren


  • Kollineare Vektoren können echt parallel oder antiparallel zueinander sein.

Gegenvektoren sind immer kollinear


  • Ein Vektor und sein Gegenvektor sind immer kollinear zueinander:
  • Kollinieare Vektoren die gleich lang sind aber in entgegengesetzte Richtungen zeigen heißen Gegenvektoren.
  • Der Vektor (2|3|4) und (-2|-3|-4) sind Gegenvektoren.
  • Sie unterscheiden sich nur in ihrer Orientierung.
  • Anschaulich: die Pfeilspitzen zeigen voneinander weg.
  • Gegenvektoren sind immer zueinander kollinear.
  • Man nennt sie auch antiparallele Vektoren.

Lagen von Geraden und Kollinearität


  • Die Kollinearität von Vektoren kommt häufig bei folgender Fragestellung vor:
  • Man hat zwei Geraden im 3D-Raum gegeben und soll überprüfen, ob die Geraden parallel zueiander sind.
  • Man muss dazu nur überprüfen, ob die zwei Richtungsvektoren kollinear sind. Falls ja, sind die Gerade parallel.

Parallelität und Kollinearität im Vergleich


Vektoren kann man sich entweder als rein abstrakte Rechengebilde ohne geometrische Anschaulichkeit vorstellen. Dann spricht man von kollinearen Vektoren und meint damit nur, dass Vektor a ein Vielfaches von Vektor b ist. Oder man stellt sich die Vektoren alternativ als Pfeile vor. Diese können dann sinnvollerweise auch parallel (gleiche Richtung) oder antiparallel (entgegengesetzte Richtung) zueinander sein. Stellt man sich Vektoren also als Pfeile vor, dann kann man statt von Kollinearität auch von Parallelität sprechen. Siehe auch => parallele Vektoren

Können nur Vektoren kollinear sein?


Nein, auch Punkte können zueinander kollinear sein: zwei oder mehr Punkte nennt man genau dann kollinear zueinander, wenn sie alle auf ein und derselben Geraden liegen. Mehr dazu unter => kollineare Punkte