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Flächenbilanz



Integralrechnung: negative Flächen machen die Flächensumme kleiner


Als Flächenbilanz bezeichnet man in der Analysis die gegenseitige Verrechnung von Flächen unter- und oberhalb der x-Achse. Flächen unterhalb der x-Achse verringern dabei das Endergebnis: Hat ein Graph in einem bestimmen Bereich (Intervall) 8 FE (Flächeneinheiten) oberhalb der x-Achse und 5 FE unterhalb der x-Achse, dann ist seine Flächenbilanz 3 FE.

Gegeben


◦ Man hat eine Funktion f(x) mit einem Graphen.
◦ Man betrachtet ein Intervall von a bis b.
◦ a ist die => linke Integrationsgrenze
◦ b ist die => rechte Integrationsgrenze
◦ Zwischen a und b habe der Graph mindestens eine => Nullstelle

Berechnung


◦ Die Flächenbilanz berechnet man immer zwischen zwei Grenzen a und b.
◦ Die Flächenbilanz ist gleich dem bestimmten Integral von a bis b.
◦ Man bildet erst die Stammfunktion F(x) und rechnet dann: F(b)-F(a)
◦ Das Ergebnis ist dann immer der Wert der Flächenbilanz.
◦ Siehe auch => bestimmtes Integral berechnen

Deutung


◦ Von a bis b verläuft der Graph teilweise über und teilweise unter der x-Achse.
◦ Man betrachtet alle Teilflächen und addiert sie gedanklich zusammen.
◦ Dabei rechnet man Flächen unter der x-Achse als negative Zahl.
◦ Flächen oberhalb der x-Achse rechnet man als positive Zahl.
◦ Die Summe aus negativen und positiven Werten ist die Flächenbilanz.
◦ Die Flächenbilanz kann positiv, negativ oder auch 0 sein.

Beispiele


◦ Man hat die Funktion: f(x)=x-3
◦ Das ist eine Normalgerade, die um 3 nach unten geschoben ist.
◦ Eine Nullstelle hat sie bei x=3.
◦ Von 0 bis 3 liegt die Fläche unter der Kurve.
◦ Der orientierte Flächeninhalt ist -4,5.
◦ (Die absolute Fläche bzw. der Flächenbetrag wäre 4,5.)
◦ Von 3 bis 7 ist die Fläche dann ganz über der x-Achse.
◦ Die orientierte Fläche von 3 bis 7 ist dann 8.
◦ Die Flächenbilanz von 0 bis 8 wäre dann -4,5 plus 8, also 3,5.
◦ (Der Flächenbetrag von 0 bis 8 wäre aber 12,5.)

Orientierte Fläche oder Flächenbilanz?


◦ Beide Begriffe meinen, dass man plus und minus unterscheidet.
◦ Von orientierter Fläche spricht man eher bei einzelnen Flächenstücken.
◦ Orientiert meint dann: das Vorzeichen (auch ein negatives) wird behalten.
◦ Flächenbilanz benutzt man eher bei der Addition mehrerer Flächenstücke.

Synonyme


=> Bestimmtes Integral
=> Flächenbilanz
=> Nettofläche

Siehe auch


=> Orientierte Fläche [fast dasselbe]
=> Flächenbetrag [das Gegenteil]
=> Fläche unter der Kurve
=> Bestimmtes Integral
=> Integralrechnung





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