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Bernoulli-Ketten-Formel


B(n,k,p)


Basiswissen


(n über k) mal p-hoch-k mal [(1-p) hoch (n-k)]: mit diesem Term kann man die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass von insgesamt n Versuchen k mal ein Treffer erzielt wird, wenn bei einem einzelnen Versuch die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p beträgt. Mehr dazu unter => Bernoulli-Ketten-Formel

Wie lautet die Formel?


◦ B(n,k,p) = (n über k)·pᵏ·(1-p)ⁿ⁻ᵏ
◦ P(X=k) = (n über k)·pᵏ·(1-p)ⁿ⁻ᵏ

Legende


◦ B(n,k,p) = Wahrscheinlichkeit P für k Treffer in der Bernoulli-Kette der Länge n
◦ P(X=k) = Wahrscheinlichkeit dass die Zufallsgröße X genau k ist.
◦ P(X=k) meint bei Bernoulli-Ketten dasselbe wie B(n,k,p).
◦ (n über k) = n!/[k!·(n-k)!] ist der => Binomialkoeffizient
◦ p = Wahrscheinlichkei für einen Treffer, z.B. 1/6 beim Würfeln
◦ n = Länge der Bernoulli-Kette, z. B.: 5 mal Würfeln: n=5
◦ k = Anzahl der Treffer, z. B.: 3 Sechser: k=3

Was bedeutet das Ausrufezeichen?


◦ n über k = n! durch [k! mal (n-k)!]
◦ Das Ausrufezeichen spricht man: Fakultät
◦ 10! ist 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10 = 3628800
◦ Mehr unter => Fakultät

Wie berechnet man n über k?


◦ Allgemein: (n über k) = n! durch [k!·(n-k)!]
◦ Zahlenbeispiel: Was ist 5 über 3?
◦ Ausgeschrieben gibt das:
◦ 5!/[3!·(5-3)!] = 5!/[3!·2!]
◦ Vereinfacht zu: 120/(6·2) = 10
◦ Mehr unter => n über k

Was wäre ein Zahlenbeispiel?


◦ Wie groß ist die Wahrscheinlickeit, bei 5 mal würfeln, genau 3 mal eine 6 zu erhalten?
◦ Man bestimmt zunächst die Zahlenwerte für n, k, und p.
◦ n ist die Anzahl der Einzelversuche, hier also: n=5
◦ k ist die Anzahl der gewünschten Treffer, hier: k=3
◦ p ist die Wahrscheinlichkeit für Treffer bei einem Teilversuch, hier: p=1/6
◦ Einsetzen: - B(5,3,1/6) = (5 über 3)·(1/6)³·(1-1/6)⁵⁻³
◦ Vereinfachen: B(5,3,1/6) = 10·(1/6)³·(5/6)²
◦ Ausrechnen: 250/6⁵ ≈ 0,032 oder etwa 3 %.

Wie kann man das Endergebnis kontrollieren?


◦ a) Wahrscheinlichkeiten müssen immer zwischen 0 und 1 liegen.
◦ b) Rechnet man B(n,k,p) für alle möglichen k-Werte aus, muss deren Summe 1 ergeben.

Weitere Zahlen-Beispiele


◦ B(5,0,½) = 0.03125
◦ B(5,1,½) = 0.15625
◦ B(5,2,½) = 0.3125
◦ B(5,3,½) = 0.3125
◦ B(5,4,½) = 0.15625
◦ B(5,5,½) = 0.03125

◦ B(5,0,⅙) ≈ 0.401878
◦ B(5,1,⅙) ≈ 0.401878
◦ B(5,2,⅙) ≈ 0.160751
◦ B(5,3,⅙) ≈ 0.032150
◦ B(5,4,⅙) ≈ 0.003215
◦ B(5,5,⅙) ≈ 0.000129

Was ist eine Bernoulli-Kette?


◦ Eine Bernoulli-Kette ist eine Art Reihenversuch.
◦ Man hat einen Teilversuch, bei dem man nur zwischen Treffer und nicht Treffer unterscheidet.
◦ Beispiel: man würfelt und unterscheidet nur: hat man eine 6 (Treffer) oder nicht (kein Treffer)?
◦ Führt man solch einen Teilversuch mehrmals hintereinander aus, hat man eine Versuchsreihe.
◦ Eine solche Versuchsreihe nennt man dann eine Bernoulli-Kette.
◦ Die typische Frage ist: Was ist die Wahrscheinlichkeit für soundsoviele Treffer?
◦ Genau diese Wahrscheinlichkeit wird mit der Bernoulli-Ketten-Formel berechnet.
◦ Mehr dazu unter => Bernoulli-Kette

Was ist eine Binomialverteilung?


◦ Man hat eine Bernoulli-Kette, z. B. man wirft 5 mal hintereinander eine Münze.
◦ Man definiert als Treffer, dass Kopf kommt. Zahl ist dann entsprechend kein Treffer.
◦ Man will dann die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen k-Werte bestimmen.
◦ Eine Berechnung würde dann ergeben:
◦ P(0 Treffer) = 0.03125
◦ P(1 Treffer) = 0.15625
◦ P(2 Treffer) = 0.3125
◦ P(3 Treffer) = 0.3125
◦ P(4 Treffer) = 0.15625
◦ P(5 Treffer) = 0.03125
◦ Eine solche Darstellung aller möglichen k-Wert-Wahrscheinlichkeiten ...
◦ nennt man eine => Binomialverteilung

Siehe auch


=> Binomialverteilung
=> Bernoulli-Kette
=> Bernoulli
=> n über k






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