Bernoulli-Kette
P(X=k) = (n über k) · p^k · (1-p)^(n-k)
Basiswissen
Diese Formel steht für eine Anzahl von n einzelnen und identischen Bernoulli-Experimenten. Sie berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass man bei n Einzelexperimenten genau k Treffer erzielt. Die Formel ist ein zentrales Konzept für viele praktische Anwendungsfälle.
Bernoulli-Experiment
Eine Bernoulli-Kette besteht aus vielen einzelnen Bernoulli-Experimenten. Ein Bernoulli-Experiment ist ein Experiment bei dem man nur zwei Ergebnisse unterscheidet (Erfolg/Misserfolg) und bei dem die Wahrscheinlichkeiten immer gleich groß bleiben. Man würfelt mit einem fairen Würfel. Es kommt entweder eine 6 (Erfolg) oder es kommt keine 6 (Misserfolg). Der Erfolg wird oft auch "Treffer" genannt. Bei einem perfekt gleichmäßigen, also fairen, Würfel bleibt die Erfolgswahrscheinlichkeit p für eine 6 immer gleich. So ein Würfel-Wurf ist ein => Bernoulli-Experiment
Bernoulli-Kette
Fasst man nun mehrere Würfe hintereinander als ein zusammengesetzes Experiment auf, so spricht man von einer Bernoulli-Kette. Achtmal den Würfel werfen wäre eine Bernoulli-Kette. Man fragt dann nicht, wie groß die Wahrscheinlichkeit p für Treffer (zum Beispiel 6) ist. Man fragt jetzt: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P genau k Treffer zu erzielen. Auf dieser Fragestellung baut das Thema zur Bernoulli-Kette auf.
Beispiele
Man würfelt 8 mal hintereinander. Die Länge n der Bernoulli-Kette ist dann 8. Man unterscheidet nur die Ausgänge 6 oder nicht 6 und nennt eine 6 einen Treffer. Dann ist die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer 1/6. Nun kann man fragen, wie groß die Wahrscheinlickeit P für die genaue Trefferzahl k=4.
◦ n = Länge der Bernoulli-Kette = Anzahl Einzelexperimente
◦ p = Die Erfolgwahrscheinlichkeit für genau einen Treffer für n=1
◦ k = Anzahl der Treffer innerhalb der Kette (hier: wie oft Kopf)
◦ P = Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer
Formeln
◦ Die folgenden Formeln sind zentral für das gesamte Thema:
◦ P(X=k) = [n über k] · [p hoch k] · [(1-p) hoch (n-k)]
◦ Standardabweichung Sigma = Wurzel [n·p·(1-p)]
◦ Varianz sigma-quadrat = n·p·(1-p)
◦ Erwartungswert mü = n·p
Legende
◦ P(X=k) = Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei n Wiederholungen
◦ n über k = ist ein eigener Rechenausdruck, der => Binomialkoeffizient
◦ p = Wahrscheinlichkeit für Treffer bei einem Versuch
◦ n = Länge der Kette, Anzahl der Wiederholungen
◦ k = Anzahl der Treffer
Schreibweisen
P(X=3) meint: Es kommen genau drei Treffer in der Kette vor.
P(x<3) meint: Es kommen weniger als drei Treffer in der Kette vor.
P(x>3) meint: Es kommen mehr als drei Treffer in der Kette vor.
P(x<=3) meint: Es kommen höchstens drei Treffer in der Kette vor.
P(x>=3) meint: Es kommen mindestens drei Treffer in der Kette vor.
B(n;p;k) meint: Wahrscheinlichkeit, bei Länge n mit Teilwahrscheinlichkeit p k Treffer zu erzielen.
Was ist eine Binomialverteilung?
◦ Man kann für alle beliebigen k-Werte die Wahrscheinlichkeit ausrechnen.
◦ Eine Darstellung der Wahrscheinlichkeiten für alle k-Wert ist dann ...
◦ eine sogenannte => Binomialverteilung
Was ist die Normalverteilung?
Die Trefferwahrscheinlichkeiten oben sind oft sehr aufwändig zu berechnen. Es gibt aber eine Vereinfachung. Sehr lange Bernoulli-Ketten lassen sich als Normalverteilung behandeln. Normalverteilungen kann man mit Hilfe der Gauß-Funktion berechnen. Aus der Gauß-Funktion lassen sich einige Aussagen ableiten, die dann auch automatisch immer einigermaßen gut für lange Bernoulli-Ketten "mitgelten". Die wichtigsten dieser übertragbaren Aussagen sind die sogenannten => Sigmaregeln
Aufgaben
=> Bernoulli-Kette erkennen => qck
=> Bernoulli-Kette berechnen genaue Trefferzahl => qck
=> Bernoulli-Kette berechnen [gemischt] => qck
Synonyme
=> Bernoulli-Prozess
=> Bernoulli-Kette
