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Binomialverteilung


B(n,k,p)


Basiswissen


Graphische oder tabellarische Darstellung der Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen k-Werte einer Bernoulli-Kette.

Was wäre ein Beispiel?


Man würfelt 5 mal. Es kann sein, dass dabei 0, 1, 2, 3, 4 oder 5 mal eine Sechs kommt. Jede dieser Anzahlen k von Sechsern hat eine Wahrscheinlichkeit "zu kommen". Die Darstellung der Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Trefferzahlen k nennt man die Binomialverteilung:

◦ k = 0, also 0 Sechser: P(X=0) ist etwa 0,16
◦ k = 1, also 1 Sechser: P(X=1) ist etwa 0,32
◦ k = 2, also 2 Sechser: P(X=2) ist etwa 0,29
◦ k = 3, also 3 Sechser: P(X=3) ist etwa 0,16
◦ k = 4, also 4 Sechser: P(X=4) ist etwa 0,05
◦ k = 5, also 5 Sechser: P(X=5) ist etwa 0,01

Was bedeutet das?


Einer Binomialverteilung liegt eine sogenannte Bernoulli-Kette zugrunde: Man führt n Versuche durch. Bei jedem Versuch unterscheidet man nur: Treffer oder nicht-Treffer. Das kleine k ist dann die Anzahl von Treffern, wenn man n Versuche macht. Die Verteilung sagt, wie sich die 100 % Wahrscheinlichkeit dass irgendeines der möglichen k-Werte kommt auf die einzelnen k-Wert verteilt.

Wofür steht die Höhe der Säulen?


Es gibt zwei Möglichkeiten, die aber unmittelbar direkt zusammenhängen. Eine Säule steht immer für eine bestimmte Anzahl k von Treffern, die man bei n Teilversuchen erhält. Die Höhe der dazugehörigen Säule kann a) die Wahrscheinlichkeit angeben, dass diese Trefferhäufigkeit k bei n Versuchen kommt. Oder b) die Säulenhöhe steht für die tatsächliche Anzahl von k Treffern bei n Teilversuchen. Die Wahrscheinlichkeit einer Säule multipliziert mit der Länge der Bernoulli-Kette n ergibt dabei immer die Häufigkeit der Trefferzahl k. Die Unterscheidung ist beispielsweise wichtig für die Interpretation der Standardabweichung. Diese bezieht sich immer auf die Interpretation b. Mehr dazu unter => Standardabweichung aus Binomialverteilung

Was sind Standard-Formeln?


◦ B(n,k,p) oder P(X=k):
◦ P(X=k) = [n über k] · [p hoch k] · [(1-p) hoch (n-k)]
◦ Standardabweichung sigma = Wurzel [n·p·(1-p)]
◦ Varianz sigma² = n·p·(1-p)
◦ Erwartungswert mü = n·p

Legende


◦ P(X=k) meint: die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferzahl X genau k ist
◦ n = Länge der Kette, Anzahl der Wiederholungen
◦ k = Anzahl der Treffer
◦ p = Wahrscheinlichkeit für Treffer bei einem Versuch
◦ n über k ist der => Binomialkoeffizient

Beispiele


◦ Man würfelt mit 4 normalen Spielwürfeln gleichzeitig.
◦ Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dann genau 3 Sechser zu würfeln?
◦ Eine Sechs zu würfeln wäre dann ein Treffer.
◦ Gesucht ist also P(X=3).
◦ Mit der Formel gibt das genau 5/243 oder etwa 2 %.
◦ Wenn man also 100 mal mit 4 Würfeln würfelt, dann ...
◦ hat man meistens etwa 2 mal genau 3 Sechser gewürfelt.

Was ist eine diskrete Verteilung?


◦ Eine Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung.
◦ Man unterscheidet diskrete von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
◦ In vielen Erklärungen wird darauf hingewiesen, dass die Binomialverteilung diskret ist.
◦ Diskret heißt: in eindeutigen gegeneinander abgetrennten Schritten ohne fließende Übergängen.
◦ Diskret sind hier die einzelnen Ergebnisse, also die k-Werte.
◦ Man kann 0, 1, 2, 3, 4 und so weiter Treffer haben.
◦ Es macht keinen Sinn von 1,23 oder 0,4444 Treffer zu sprechen.
◦ Mehr dazu unter => diskret

Siehe auch


=> Standardabweichung aus Binomialverteilung
=> Erwartungswert aus Binomialverteilung
=> Binomialverteilung Geburtstagsbeispiel
=> Bernoulli-Kette [alles ausführlicher]
=> Varianz aus Binomialverteilung
=> Diskret
=> eng






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