Orthogonale Vektoren bestimmen
Anleitung
Basiswissen
Man hat einen Vektor oder auch zwei Vektoren gegeben und soll dazu einen weiteren Vektor angeben, der orthogonal, das heißt senkrecht, also im 90°-Winkel, zu den gegebenen Vektoren steht. Hier sind verschiedene Verfahren dazu kurz vorgestellt.
Ein Vektor ist gegeben
- Man hat einen Vektor gegeben, zum Beispiel: (2|3|4)
- Man soll irgendeinen anderen Vektor finden, der orthogonal zu diesem gegebenen Vektor ist.
- Das Skalarprodukt von dem gegebenen und dem gesucht Vektor muss genau Null ergeben.
- Das ist die Kernidee: multipliziert man zwei orthogonale Vektoren skalar kommt immer Null heraus.
- Lies mehr zur Verbindung von Orthogonalität und der skalaren Multiplikation unter Skalarprodukt ↗
- Also: man sucht einen Vektor der skalar multipliziert mit dem ersten Vektor genau Null gibt.
- Hier stehen die Vektoren waagrecht geschrieben, schreibe du sie auf Papier besser senkrecht auf.
- Man schreibt den gesuchten Vektor erst mit drei Unbekannten: (x|y|z) mal dem gegebenen Vektor, z. B. (2|3|4).
- Damit schreibt man das Skalarprodukt ausgeschrieben, im Beispiel: 2·x + 3·y + 4·z
- Nun probiert man für x, y und z Zahlen zu finden, sodass Null herauskommt.
- Man macht das tatsächlich über probieren.
- Im Beispiel passen, z. B.: x=1, y=2 und z=-2
- Es gibt noch unendlich viele weitere Lösungen.
- Eine dieser Lösungen ist: (1|2|-2)
- Siehe auch Skalarprodukt ↗
Zwei Vektoren sind gegeben, Methode I
Man hat zwei Vektoren gegeben, z. B.: (1|3|0) und (-2|1|3). Man sucht einen Vektor, der senkrecht sowohl auf dem ersten als auch dem zweiten der gegebenen Vektoren steht. Lies mehr dazu unter Vektor orthogonal zu zwei anderen über LGS ↗
Zwei Vektoren sind gegeben, Methode II
Man hat zwei Vektoren gegeben, z. B.: (1|3|0) und (-2|1|3). Man bildet von diesen zwei Vektoren das sogenannte Kreuzprodukt. Das Ergebnis dieser Rechnung ist wiederum ein Vektor. Dieser Vektor steht immer senkrecht auf den zwei gegebenen Vektoren vom Anfang. Im Beispiel wäre das Kreuzprodukt (9|-3|7). Lies mehr unter Kreuzprodukt ↗
Wie kann man orthogonale Vektoren erkennen?
Ob zwei oder mehr Vektoren zueinander orthogonal sind, sie also untereinander 90°-Winkel bilden, erkennt man mit Hilfe des sogenannten Skalarproduktes. Das ist erklärt unter orthogonale Vektoren erkennen ↗