Grenzwerte
Arten und Beispiele
Basiswissen
Grenzwerte sind definiert für Folgen, Reihen und mathematische Funktionen. Hier werden verschiedene Arten wie uneigentliche, rechtsseitige und linksseitige Grenzwerte kurz vorgestellt.
Uneigentlicher Grenzwert
- Die y-Werte gehen gegen plus unendlich oder gegen minus unendlich.
- Der Graph wächst also über alle Grenzen nach oben oder nach unten.
- f(x) = x² etwa hat den uneigentlichen Grenzwert plus unendlich.
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Linksseitiger Grenzwert
- Linksseitig heißt: man geht auf der x-Achse gedanklich von links nach rechts.
- f(x)=1/x hat als Funktionsgraph die sogenannte Normalhyperbel.
- Geht man von links auf der x-Achse Richtung 0, geht y gegen minus unendlich.
- Geht man von rechts auf der x-Achse Richtung 0, geht y gegen plus unendlich.
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Rechtsseitiger Grenzwert
- Linksseitig heißt: man geht auf der x-Achse gedanklich von links nach rechts.
- f(x)=1/x hat als Funktionsgraph die sogenannte Normalhyperbel.
- Geht man von links auf der x-Achse Richtung 0, geht y gegen minus unendlich.
- Geht man von rechts auf der x-Achse Richtung 0, geht y gegen plus unendlich.
- Lies mehr unter rechtsseitiger Grenzwert ↗
x gegen unendlich
- f(x) =[8/(x²+1)][sin(8x)]+2 Limes: 2
- f(x) = x^2 Limes: unendlich
- f(x) = x Limes: unendlich
- f(x) = 1/x Limes: 0
x gegen unendlich
- f(x) = x^(1/x) Limes: 1
- f(x) = (1+x)^(1/x) Limes: e
- f(x) = (1+1/x)^x Limes: e
- f(x) = (1+a/x)^x Limes: e^a
- f(x) = (1+a/x)^(mx) Limes: e^(ma)
- f(x) = (1-1/x)^x Limes: 1/e
- f(x) = (a^x)/(x!) Limes: 0
- f(x) = ln(x)/x Limes: 0
- f(x) = [ln(1+a/x)]/(1/x) Limes: a
n gegen unendlich
- f(x) = n/[(n!)^(1/n)] Limes: e
Legende
^ Hochzeichen ↗
a ⭢ Beliebige reelle Zahl, konstant
m ⭢ Beliebige reelle Zahl, konstant
x ⭢ Beliebige reelle Zahl, variable
n ⭢ Beliebige natürliche Zahl größer Null, variable
e Eulersche Zahl ↗
! Fakultät ↗
Abkühlung
Man stellt ein Gefäß mit heißer Flüssigkeit in einem Raum. Man lässt es dort unter ständiger Beobachtung der Temperatur abkühlen. Die Temperatur als Funktion der Abkühlzeit nimmt dabei in etwa exponentiell ab. Für die Zeit gegen unendlich läuft der Funktionswert gegen die Raumtemperatur. Mehr unter Versuch Abkühlkurve ↗
Dörrversuch
Man lasst eine angeschnittene Kartoffel an der Luft trocknen. Zunächst verliert sie recht viel Wasser pro Tag, dann immer weniger. Das Gewicht als Funktion der Trocknungsdauer scheint einem Grenzwert zuzustreben (etwa zwei Drittel des Ursprunggewichtes.) Mehr dazu unter Kartoffel-Trockenpökel-Versuch ↗
Würfelhaufen
Man hat zwei Haufen mit je unterschiedlich vielen Würfeln. Man würfelt mit allen Würfeln. Alle 6er vom linken Haufen sollen dann zum rechten Haufen wandern. Gleichzeitig wandern alle geraden Zahlen vom rechten Haufen zum linken. Das setzt man für eine längere Zeit fort. Nach einiger Zeit wird die Anzahl Würfel eines jeden Haufens für sich um einen stabilen Mittelwert schwanken. Mehr unter Versuch stationäre Verteilung mit Zufall ↗