Bildbeschreibung und Urheberrecht

Grenzwert


y-Wert, dem sich eine Funktion für einen bestimmten x-Wert annähert


Was meint Grenzwert hier?


◦ Grenzwerte gibt es für Funktionen und Folgen.
◦ Für Folgen siehe unter => Grenzwert einer Folge
◦ Hier meint Grenzwert an sich den Grenzwert einer Funktion.

Was meint "Grenzwert"?


◦ Man sagt normalerweise: was ist der Grenzwert von f(x) für x gegen eine bestimmte Zahl.
◦ Man geht dann gedanklich auf der x-Achse immer näher an den bestimmten x-Wert heran.
◦ Dabei beobachtet man, was dabei mit dem f(x)-Wert (also dem Funktionswert) passiert.
◦ Der f(x)-Wert nähert sich dabei oft einer bestimmten Zahl an.
◦ Diese Zahl ist der Grenzwert.

Beispiel: f(x)=x²


◦ Der Graph von f(x) ist die => Normalparabel
◦ Wenn x gegen 4 laufen soll, dann setzt man der Reihe nach ...
◦ für x Zahlen ein, die immer näher an die 4 herangehen.
◦ Man beobachtet, auf welche Zahl der f(x)-Wert zuwandert.
◦ Für x=3 ist f(x)=9.
◦ Für x=3,5 ist f(x)= 12,25.
◦ Für x=3,8 ist f(x)=14,44.
◦ Für x=3,9 ist f(x)=15,21.
◦ Für x=3,99 ist f(x)=15,9201
◦ Für x=3,999 ist f(x)=15.992001
◦ Man hat den Eindruck, als ob f(x) langsamt gegen 16 strebt.
◦ Man sagt dann: Für x gegen 4 geht f(x) gegen 16.
◦ Der Grenzwert von f(x) für x gegen 4 ist 16.

Warum setzt man nicht direkt den x-Wert ein?

◦ Im Beispiel oben hätte man direkt f(4) ausrechnen können.
◦ Für f(x)=x² wäre dann direkt 16 herausgekommen.
◦ Für so etwas braucht man tatsächlich keine Grenzwertbetrachtungen.
◦ Es gibt aber x-Werte, für die eine bestimmte Funktion nicht definiert ist.
◦ Würde man den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzen, würde ein Taschenrechner "error" ausgeben.
◦ Beispiel: für f(x)=1/x kann man für x keine 0 einsetzen. Denn: 1 durch 0 ist nicht definiert.

Beispiel: f(x)=[8/(x²+1)]*[sin(8x)]+2


◦ Der Graph von ist eine Schlangenlinie mit abnehmenden Ausschlägen.
◦ Für immer größere Werte von x, nähert sich der Funktionswert ...
◦ immer mehr der Zahl 2 an.
◦ Die 2 ist der Grenzwert.

Synonyme


=> Grenzwert
=> Limes

Siehe auch


=> Grenzwerte [Beispiele]
=> Grenzwert durch Probieren
=> Kettenregel für Grenzwerte
=> Regel von l'Hospital
=> Grenzwertwertsätze
=> Unendlichkeitsverhalten
=> Epsilon-Umgebung
=> Sekantenverfahren
=> Grenzwertsätze
=> Unendlichkeit
=> h-Methode
=> Asymptote
=> eng





© Lernwerkstatt Aachen GbR, 2020