Arithmetische Proportion

Mathematik

Definition

Fußnoten

• [1] Samuel Eduard Baltrusch: Das Kopf- und Ziffer-Rechnen. Theoretisch und praktisch nach der Methode vom Einfachen zum Zusammengesetzen mit besonderer Berücksichtigung der Decimalbrüche und der Raumgrößen behandelt, zum Gebrauche für Stadt- und Landschulen und zur Selbstbelehrung. Verlag der Gebrüder Bornträger. 1846. Dort heißt es im Kapitel "III Über arithmetische Proportionen" auf Seite 38: "Die Gleichheit zweier Verhältnisse heißt eine Proportion".
  

• [2] 1839: "Proportion bedeutet ein auf Ebenmaß, Gleichheit oder Ähnlichkeit, Größe oder Zahlenbestimmung beruhendes Verhältniß bei der Vergleichung von Dingen. So spricht man z.B. von den Proportionen des menschlichen Körpers und nennt denselben proportionirlich, wenn zwischen den verschiedenen Theilen desselben das gehörige Ebenmaß oder Wohlverhältniß besteht, d.h. der eine im Vergleiche zum andern weder zu klein noch zu groß ist, und nennt eine entgegengesetzte Bildung disproportionirlich oder unproportionirlich. Die Mathematik versteht unter Proportion die Zusammenstellung zweier gleicher Verhältnisse, und sind diese arithmetisch, d.h. bestehen sie in Zahlen, so ist eine arithmetische Proportion, sind es räumliche Größen, eine geometrische Proportion vorhanden. So sind z.B. 9–6 und 6–3 zwei gleiche arithmetische Verhältnisse und ihre Zusammenstellung 9 - 6 = 6 - 3 gibt eine arithmetische Proportion. In: Brockhaus Bilder-Conversations-Lexikon, Band 3. Leipzig 1839., S. 585. Online: http://www.zeno.org/nid/20000856177
  

• [3] 1856: "Proportion, lat.-deutsch, Ebenmaß, Verhältnißmäßigkeit, in der Mathematik 2 durch das Zeichen der Gleichheit mit einander verbundene gleiche Verhältnisse, die arithmetische oder geometrische sein können, wornach auch die P. eine arithmetische (z.B. 12–8 = 9–5) od. eine geometrische ist (z.B. 4 : 12 = 5 : 15). In der arithmetischen P. ist die Summe der beiden äußern Glieder stets gleich der Summe der beiden innern, bei der geometrischen P. das Product der beiden äußern Glieder gleich dem der beiden innern, wornach ein unbekanntes Glied der P. leicht aus den 3 übrigen gefunden werden kann. Sind die beiden innern Glieder einander gleich, so heißt die P. eine stetige, und die Größe der beiden mittlern Glieder ist dann das arithmetische od. geometrische Mittel der beiden äußern. P. iren, ausgleichen, abmessen; p. irt, gleichmäßig, verhältnißmäßig." In: Herders Conversations-Lexikon. Freiburg im Breisgau 1856, Band 4, S. 624-625. Online: http://www.zeno.org/nid/20003480127
  

• [4] 1861: "(Math.), die Verbindung zweier gleichen Verhältnisse (s.d.) durch das Gleichheitszeichen. Da es arithmetische u. geometrische Verhältnisse gibt, so unterscheidet man auch arithmetische u. geometrische P.; erstere bezeichnet man: a – b = c – d, letztere a : b = c : d (anstatt = steht wohl auch Proportion od. Proportion, bes. bei französischen Mathematikern) u. liest dies: es verhält sich a zu b wie c zu d. Die vier Größen, aus denen eine P. besteht, also hier a, b, c, d, heißen ihre Glieder, u. man spricht von einem ersten, zweiten, dritten, vierten Glied. Die Glieder 1 u. 4 nennt man äußere, 2 u. 3 innere od. mittlere, 1 u. 3 Vorderglieder, 2 u. 4 Hinterglieder der P., beide letztere Paare heißen auch homologe Glieder. Sind alle vier Glieder verschieden, so heißt die P. eine unterbrochene, sind die beiden mittleren gleich, also a : b = b : c, eine stetige. Die mittleren Glieder einer stetigen P. heißen das Mittel, u. es gibt demnach in der arithmetischen P. ein arithmetisches Mittel od. mittlere Proportionale, u. in der geometrischen ein geometrisches Mittel od. mittlere Proportionallinie, wenn die Glieder Linien sind. Das vierte Glied heißt in einer stetigen P. bezüglich die dritte Proportionale, die dritte Proportionallinie. Das vierte Glied einer unterbrochenen P. heißt die vierte Proportionale, die vierte Proportionallinie." Der Artikel ist noch sehr viel umfangreicher. In: Pierer's Universal-Lexikon, Band 13. Altenburg 1861, S. 628-629. Online: http://www.zeno.org/nid/20010687416
  

• [5] 1911: "Proportiōn (lat.), Verhältnis, Ebenmaß, Gleichmaß; in der Mathematik Gleichung von Verhältnissen; bei der arithmet. P. ist die Summe, bei der geometr. P. das Produkt der beiden äußern Glieder gleich der Summe, bez. dem Produkt der beiden innern. Sind die mittlern Glieder gleich (a:b = b:c), so heißt die P. eine stetige. Proportionāl, im Verhältnis zueinander stehend, verhältnismäßig, eine P. bildend. Proportionalität, Verhältnismäßigkeit, Ebenmäßigkeit der Größenverhältnisse; proportionieren, in Verhältnis setzten, einrichten; proportioniert, verhältnis-, ebenmäßig." In: Brockhaus' Kleines Konversations-Lexikon, fünfte Auflage, Band 2. Leipzig 1911., S. 461. Online: http://www.zeno.org/nid/20001468464
  

• [6] 1908, Glieder einer Proportion: "Proportion (lat.), Ebenmaß, Verhältnis; in der Mathematik eine Gleichung, die aussagt, daß zwei Differenzen oder zwei Quotienten (Verhältnisse) einander gleich (in Zeichen: =) sind. Im ersten Fall ist die P. arithmetisch, wie a-b = c-d, im zweiten geometrisch, wie a/b = c/d, wofür man gewöhnlich schreibt a:b = c:d, gelesen a [verhält sich] zu b wie c:d; der Quotient a/b = c/d heißt dann auch der Exponent dieser geometrischen P. Die vier Zahlen a, b, c, d nennt man die Glieder der P. und unterscheidet sie ihrer Stellung nach als erstes bis viertes Glied; a und d heißen äußere, b und c innere (mittlere) Glieder." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 16. Leipzig 1908, S. 384-385.
  

• [7] 1909: "Verhältnis, im allgemeinen die Beziehung des einen auf ein andres. Daher ist eine Verhältnisbestimmung eine solche, die einem Ding oder einem Begriff nicht an sich selbst, sondern nur in seiner Beziehung auf ein andres, oder vermöge einer Vergleichung mit dem letztern zukommt. Verhältnisbegriffe oder korrelate Begriffe heißen insbes. solche, die einander wechselseitig erfordern und bedingen, wie z. B. groß und klein, rechts und links, Gatte und Gattin etc. – In der Mathematik versteht man unter V. das Ergebnis der Vergleichung zweier gleichartiger Größen, die man die Glieder des Verhältnisses nennt. Man kann nun fragen, um wie viel das eine Glied größer ist als das andre; dies gibt zwischen den beiden Gliedern a und b das arithmetische V. (die Differenz a-b). Fragt man aber, wie vielmal das eine Glied so groß ist wie das andre, so erhält man das geometrische V. (den Quotienten) a: b oder a/b, Ein V. heißt steigend (zunehmend), wenn das zweite Glied größer ist als das erste, z. B. 5–7 oder 5: 7, im entgegengesetzten Fall fallend (abnehmend). Gewöhnlich versteht man unter V. schlechtweg das geometrische. Der Ausdruck für die Gleichheit zweier Verhältnisse ist eine Proportion (s. d.)." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 20. Leipzig 1909, S. 75. Online: http://www.zeno.org/nid/20007643799
  

• [9] 2016, nur noch als "a/b=c/d" behandelt zum Beispiel das Standardwerk der Ingenieurs-Mathematik, Der Bronstein, den Begriff der Proportion. In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort die Seite 17. Siehe auch Der Bronstein ↗