Glied

Mathematik

Basiswissen

Der Term 4x²-8x+15 hat die Glieder 4x², -8x und die Zahl 15. Als Glieder bezeichnet man heute meist die Teile einer Folge von Zahlen oder die Summanden einer Pluskette. Das wird hier mit verschiedenen Beispiele kurz vorgestellt.

Heute übliche Bedeutungen von Glied in der Mathematik

Die Folge^[9] von Zahlen 1/1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5 etc. hat die Glieder 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 etc. Siehe auch Folge (Mathematik) ↗

Die Reihe^[10] 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 etc. hat die Glieder 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 etc. Siehe auch Reihe (Analysis) ↗

Das Polyonom^[8] 4x³-x²+8x+5 hat die Glieder 4x³, -x³, 8x und die Zahl 5. Jedes Glied ist ein Monon. Siehe auch Polynom ↗

Das Polynom 4x³-x²+8x+5 hat das Monom 4x³ als kubisches Glied ↗

Das Polynom 4x³-x²+8x+5 hat das Monom -x² als quadratisches Glied ↗

Das Polynom 4x³-x²+8x+5 hat das Monom 8x als lineares Glied ↗

Das Polynom 4x³-x²+8x+5 hat die Zahl 5 als absolutes Glied^[2]^{[5] ↗}

Die Proportion^[7] 3a:b = c:d hat die Glieder a, b, c und d geometrische Proportion ↗

Die Proportion^[7] a-b = c-d hat die Glieder a, b, c und d arithmetische Proportion ↗

Zur Handhabung von Rechen- und Vorzeichen

In dem Ausdruck 4x²-8x ist zunächst unklar, ob das zweite Glied -8x (also mit negativem Vorzeichen) oder nur 8x (also positiv aufgefasst) sein soll. Das Vorzeichen ignoriert wird beispielsweise bei der Festlegung, dass das arithmetische Verhältnis a-b=c-d die Glieder a, b, c und d hat^[7]. Ein Minus als Rechenzeichen wird aber mit ins Glied hinübergenommen, wenn man etwa sagt, dass der Term 4x²-8x als lineares Glied die -8x (also negativ) hat. Immer richtig liegt man, wenn man jede Plus-/Minuskette zunächst in eine reine Pluskette, also einen Summenterm umwandelt. Mit den Rechenregeln zu negativen Zahlen kann man 4x²-8x auch schreiben als 4x²+(-8x). Hier ist es eindeutig, dass das zweite Glied der Term -8x (mit negativen Vorzeichen) ist. Diese Handhabung empfehlen wir hier.

Fußnoten

[1] 1857, ein Glied kann auch eine Summe sein: "Bekanntes Glied, in einer algebraischen Gleichung ein solches Glied, welches die unbekannte Größe nicht als Factor enthält, vorausgesetzt, daß die Gleichung von der Form ist, daß die unbekannte Größe nicht als Divisor od. mit negativen Exponenten vorkommt; z.B. in der Gleichung ax + bx – ac + d/f = gx heißen – ac + d/f das bekannte Glied." In Übereinstimmung mit diesen Gebrauch könnte man ein Glied auch als einen beliebigen Teil einer Plus- oder Minuskette definieren, der vom Rest des Terms durch ein Plus- oder Minuszeichen abgetrennt ist. In: Pierer's Universal-Lexikon, Band 2. Altenburg 1857, S. 507. Online: http://www.zeno.org/nid/20009497951

[2] 1859, absolutes Glied: "Das Glied, welches mit keiner unbekannten Größe verbunden ist, heißt das absolute, ledige Glied." In: Pierer's Universal-Lexikon, Band 7. Altenburg 1859, S. 401-402. Online: http://www.zeno.org/nid/20010015949

[3] 1905, ein Glied kann irgendwie in sich abgeschlossen sein: "In der Mathematik allgemeiner Ausdruck für eine Größe, die zwar für sich abgeschlossen ist, aber in Verbindung mit andern betrachtet wird, z. B. G. einer Reihe, einer Gleichung." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 8. Leipzig 1907, S. 31-32. Online: http://www.zeno.org/nid/20006689604

[4] 1904, Glieder können hier auch Faktoren sein: "Reihen, geordnete Folgen von mathematischen Größen (Gliedern), die nach einem gewissen Gesetz gebildet sind. Zu jedem Glied u gehört der Stellenzeiger, d.h. die Zahl, die angibt, das wievielte Glied u in der Reihe ist. Man unterscheidet Summenreihen a + b + c + ... und Produktenreihen a · b · c ..., je nachdem die Reihen Summen oder Produkte ihrer Glieder sind. Ferner teilt man die Reihen je nach der Zahl ihrer Glieder in endliche und unendliche Reihen ein." In: Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 7 Stuttgart, Leipzig 1909., S. 397-401. Online: http://www.zeno.org/nid/20006111610

[5] Absolutglied wird in einer Gleichung zwischen bekannten und unbekannten Größen das von den letzteren freie Glied genannt, z.B. in a x2 + b x + c = 0 ist c das Absolutglied." Verfasst von Mehmke. In: Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 1 Stuttgart, Leipzig 1904., S. 32. Online: http://www.zeno.org/nid/20005947340

[6] 1908, Glieder eine Reihe: "Reihe, in der Mathematik jede nach einem bestimmten Gesetze gebildete Folge von Größen; diese Größen nennt man die Glieder der R. und bezeichnet sie, mit dem Anfangsglied beginnend, als erstes, zweites etc. Glied der R. Versteht man unter n eine beliebige positive ganze Zahl, so kann man meistens aus n einen Ausdruck bilden, der, sobald man für n die Werte 1, 2, 3 etc. einsetzt, das erste, zweite etc. Glied der R. ergibt; dieser Ausdruck heißt das n te oder das allgemeine Glied der R." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 16. Leipzig 1908, S. 750. Online: http://www.zeno.org/nid/20007333978

[7] 1908, Glieder einer Proportion: "Proportion (lat.), Ebenmaß, Verhältnis; in der Mathematik eine Gleichung, die aussagt, daß zwei Differenzen oder zwei Quotienten (Verhältnisse) einander gleich (in Zeichen: =) sind. Im ersten Fall ist die P. arithmetisch, wie a-b = c-d, im zweiten geometrisch, wie a/b = c/d, wofür man gewöhnlich schreibt a:b = c:d, gelesen a [verhält sich] zu b wie c:d; der Quotient a/b = c/d heißt dann auch der Exponent dieser geometrischen P. Die vier Zahlen a, b, c, d nennt man die Glieder der P. und unterscheidet sie ihrer Stellung nach als erstes bis viertes Glied; a und d heißen äußere, b und c innere (mittlere) Glieder." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 16. Leipzig 1908, S. 384-385. Siehe auch Proportion ↗

[8] Auf Wikipedia (Begriffsklärung zu "Glied", Stand Januar 2024) heißt es, ein Glied ist "in der Mathematik ein Monom eines Polynoms". Ein Monom wäre zum Beispiel 4x und ein Polynom wäre zum Beispiel 4x-3x²+9y. Siehe auch Polynom ↗

[9] Glieder einer Folge: "Eine unendliche Zahlenfolge […] ist eine unendliche Menge von Zahlen […], die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind. Die Zahlen der Zahlenfolge werden Glieder der Zahlenfolge genannt." In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort auf Seite 470.

[10] Glieder einer Reihe: "Aus den Gliedern aₖ einer unendlichen Zahlenfolge […] kann formal der Ausdruck a₁ + a₂ + ··· + [] gebildet werden, der eine unendliche Reihe [] genannt wird; aₖ ist das allgemeine Glied der Reihe." In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort auf Seite 472. Siehe auch Der Bronstein ↗