3D-Pythagoras
Vektorrechnung
Basiswissen
Mit Hilfe einer Art von dreidimensionalem Satz des Pythagoras kann man den Abstand von zwei Punkten im Raum sowie die Länge von Vektoren in einem Raum berechnen. Beides ist hier kurz vorgestellt.
Abstand von Punkt zu Punkt
Hat man in einem 3D-Koordinatensystem zwei Punkte A(x₁|y₁|z₁) und B(x₂|y₂|z₂) gegeben, dann kann man deren Abstand berechnen über √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]. In Worten: der Abstand zwischen zwei Punkten in einem 3D-Koordinatensystem ist gleich der Wurzel aus der Summe der drei Quadrate der Differenzen zwischen entsprechenden Punktkoordinaten. Die Punkte A(2|1|0) und B(10|8|6) haben den Abstand √[(10-2)² + (8-1)² + (6-0)²], vereinfacht zu √[8² + 7² + 6²] oder √149. Das ist ausgerechnet etwa 12,2. Siehe mehr zu dieser Rechnung im Artikel Abstand von Punkt zu Punkt ↗
Vektorlänge
Ein Vektor als Pfeil gedacht kann mit seinem Anfang, dem Vektorfuß, gedanklich immer in den Koordinatenursprung gelegt werden. Dann zeigt die Vektorspitze auf einen beliebigen Punkt. Der Abstand zwischen dem Koordinatenursprung (0|0|0|) und dem gewählten Punkt B(x|y|z) ist dann auch gleich der Länge dieses Vektors. Nimmt man die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten ergibt sich für die Länge des Vektors √[x² + y² + z²]. Siehe mehr dazu im Artikel zur Vektorlänge ↗
Was hat das mit dem Satz des Pythagoras zu tun?
Die Formeln oben sind eng verwandt und kommen ohne weitere Kenntnisse direkt aus dem Satz des Pythagoras hergeleitet werden. Man kann sich die zwei Punkte immer als zwei diagonal gegenüberliegende Ecken einer Rechteckkiste, eines Quaders also, vorstellen. Die Länge der Diagonalen zur Verbindung der zwei Punkte ist dann gleich dem gesuchten Punktabstand und auch gleich der gesuchten Vektorlänge. Die zugrundeliegende Logik ist skizziert im Artikel Kistendiagonale über Pythagoras ↗