WH54 Fachwortlexikon
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Bildbeschreibung und Urheberrecht

Satz des Pythagoras


a² + b² = c²


Basiswissen


Man hat ein rechtwinkliges Dreieck mit drei Seiten: a, b und c. c ist dabei die längste Seite. Man misst die Länge jeder der drei Seiten. Dann multipliziert man die Länge jeder Seite mit sich selbst. Man erhält drei Zwischenergebnisse: a², b² und c². Dann addiert man a² und b². Die daraus entstehende Summe ist immer gleich (oder sehr nahe bei) c². Kurz: a²+b² = c²

Einführung


Der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreicke (genau ein 90°-Winkel) und alle rechtwinkligen Dreiecke. Er besagt: multipliziert man die Längen der beiden kürzeren Seiten (Katheten) mit sich selbst und addiert diese Zwischenergebnisse zusammen, erhält man immer dasselbe Ergebnis wie bei der Multiplikation der längsten Seite (Hypotenuse) mit sich selbst. Mit Hilfe dieser Formel genügt es, bei einem rechtwinkligen Dreieck die Länge von zwei Seiten zu kennen. Man kann dann die Länge der dritten Seite immer berechnen.

Formel


◦ a² + b² = c²

Legende


◦ a = Länge von einer => Kathete
◦ b = Länge der anderen => Kathete
◦ c = Länge der => Hypotenuse

Erklärung


◦ Man nimmt die Länge einer Kathete mit sich selbst mal.
◦ Man nimmt die Länge der anderen Kathete mit sich selbst mal.
◦ Man addiert diese beiden Ergebnisse.
◦ Wenn man die Länge der Hypotenuse mit sich selbst malnimmt, ...
◦ kommt dabei immer dieselbe Zahl heraus.

Hinweise


◦ a² meint dasselbe wie a mal a.
◦ Der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreiecke.
◦ Der Satz des Pythagoras gilt für alle rechtwinkligen Dreiecke.
◦ In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es immer eine Hypotenuse.
◦ Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel.
◦ Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im Dreieck.
◦ Das c in der Formel steht immer für die Länge der Hypotenuse.
◦ Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.
◦ Die Katheten sind die Schenkel des rechten Winkels.
◦ Die Katheten sind immer die zwei kürzeren Seiten.
◦ Das a ist die Länge von einer der beiden Katheten.
◦ Das b ist die Länge der anderen der beiden Katheten.

Was ist der Nutzen dieses Satzes?


◦ Kennt man von einem rechtwinkligen Dreieck die Längen von zwei ...
◦ Seiten, dann kann man die Länge der dritten Seite ausrechnen.
◦ Dazu benötigt man unterschiedliche Rechenwege.

Wie berechnet man die Länge der Hypotenuse?


◦ Bekannt sind: a und b
◦ Z. B. a=5 und b=12
◦ Man geht aus von: a²+b² = c²
◦ c ist die Länge der gesuchten Hypotenuse.
◦ Man formt die Gleichung um nach c:
◦ a²+b² = c² | auf beiden Seiten die Wurzel ziehen
◦ Wurzel von (a²+b²) = c
◦ Einsetzen: Wurzel von (5²+12²) = 13
◦ Die gesuchte Länge von c ist: 13
◦ Mehr dazu unter => Hypotenuse über Pythagoras => pdf

Wie berechnet man die Länge einer der beiden Katheten?


◦ Man geht aus von: a²+b² = c²
◦ c ist die Hyptonuse, also die längste Seite.
◦ a ist eine der zwei Katheten, b die andere.
◦ Es ist für a und b egal, wer die längere ist.
◦ Man formt um nach zum Beispiel a:
◦ a² + b² = c² | -b²
◦ a² = c²-b² | Wurzel ziehen
◦ a = Wurzel aus (c²-b²)
◦ Zahlenbeispiel: c=5 und b=4. Wie lang ist a?
◦ Einsetzen: a = Wurzel aus (5²-4²)
◦ a = Wurzel aus (25-16) = 3
◦ Die gesuchte Kathete hat die Länge 3.
◦ Mehr dazu unter => Kathete über Pythagoras => pdf

Aufgaben


=> Satz des Pythagoras Textaufgaben => qck
=> Kiste 17 Versuch Leiterstellhöhe => qck
=> qck [gemischte Aufgaben]

Siehe auch


=> Satz des Pythagoras mit hoch drei [Denkproblem]
=> Pythagoras geht nicht auf [häufige Fehler]
=> Pythagoreische Tripel [Zahlenliste]
=> Pyramidenhöhe über Pythagoras
=> Diagonalen über Pythagoras
=> Satzgruppe des Pythagoras
=> eng
=> qck





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