WH54 Fachwortlexikon
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Bildbeschreibung und Urheberrecht

Spurpunkte von Ebenen berechnen


Anleitung


Basiswissen


Die Berechnung hängt davon ab, in welcher Form die Ebenengleichung E gegeben ist. Es werden hier drei verschiedene Varianten - für jeweils dieselbe Ebene - kurz erklärt.

Den einfachsten Weg wählen


◦ a) sehr einfach: E ist gegeben in der => Achsenabschnittsform der Ebene
◦ b) einfach: E ist gegeben in der => Koordinatenform der Ebene
◦ c) Aufwändig: E ist gegeben in der => Parameterform der Ebene
◦ Für den Fall c: Form eventuell erst umwandeln

In Achsenabschnittsform


◦ Sehr einfach:
◦ E: x/2 + y/4 + z/2 = 1
◦ Die Nenner der drei Variablen geben direkt die Achsenabschnitte:
◦ S1: die x-Achse wird geschnitten bei x=2
◦ S2: die y-Achse wird geschnitten bei y=4
◦ S3: die z-Achse wird geschnitten bei z=2
◦ Damit ergeben sich die Spurpunkte:
◦ S1 (2|0|0) ✔
◦ S2 (0|4|0) ✔
◦ S3 (0|0|2) ✔

In Koordinatenform


◦ Einfach:
◦ E: 2x + 1y + 2z = 4
◦ S1: Spurpunkt liegt auf der x-Achse, also: y=0 und z=0
◦ S2: Spurpunkt liegt auf der y-Achse, also: x=0 und z=0
◦ S3: Spurpunkt liegt auf der z-Achse, also: x=0 und y=0
◦ Damit ergeben sich die drei Spurpunkte:
◦ S1: Einsetzen: E: 2x + 1·0 + 2·0 = 4 <=> x=2, also: S1 (2|0|0) ✔
◦ S2: Einsetzen: E: 2·0 + 1·y + 2·0 = 4 <=> y=4, also: S2 (0|4|0) ✔
◦ S3: Einsetzen: E: 2·0 + 1·0 + 2·z = 4 <=> z=2, also: S2 (0|0|2) ✔

In Paramaterform


◦ Aufwändig:
◦ E: x = (0|2|1) + r(2|-2|-1) + s(0|2|-1)
◦ S1, Schnittpunkt mit der x-Achse gilt: y=0 und z=0
◦ S2, Schnittpunkt mit der y-Achse gilt: x=0 und z=0
◦ S3, Schnittpunkt mit der z-Achse gilt: x=0 und y=0
◦ Spurpunktpunktbedingunen für S1, S2 und S2 formulieren:
◦ Für S1 gilt: x = 0 + 2r + 0s
◦ Für S1 gilt: 0 = 2 - 2r + 2s I
◦ Für S1 gilt: 0 = 1 - 1r - 1s II
◦ Für S2 gilt: y = 2 - 2r + 2s
◦ Für S2 gilt: 0 = 0 + 2r + 0s I
◦ Für S2 gilt: 0 = 1 - 1r - 1s II
◦ Für S3 gilt: z = 1 - 1r - 1s
◦ Für S3 gilt: 0 = 0 + 2r + 0s I
◦ Für S3 gilt: 0 = 2 - 2r + 2s II
◦ Für S1, S2 und S3 jeweils die Gleichungssysteme I und II lösen
◦ Für S1: r=1 und s=0
◦ Für S2: r=0 und s=1
◦ Für S3: r=0 und s=-1
◦ Für S1, S2 und S2 die r- und s-Werte in jeweils erste Gleichung einsetzen:
◦ Für S1: x = 0 + 2·1 + 0·0 <=> x = 2
◦ Für S2: y = 2 - 2·0 + 2·1 <=> y = 4
◦ Für S3: z = 1 - 2·0 - 1·(-1) <=> z=2
◦ S1 (2|0|0) ✔
◦ S2 (0|4|0) ✔
◦ S3 (0|0|2) ✔

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