Bildbeschreibung und Urheberrecht

Punktsymmetrie von Graphen


Definition | Mehrdeutigkeit | Beispiele


Was meint Punktsymmetrie von Graphen?


◦ In der Schulmathematik meint das: punktsymmetrisch zum Ursprung.
◦ Der Ursprung ist dabei der Punkt (0|0) im Koordinatensystem.
◦ Der Graph einer Funktion ist dann am Ursprung (0|0) punktgespiegelt:
◦ Nimmt man irgendeinen Punkt des Graphen und zieht eine Linie zu (0|0), ...
◦ und geht dann auf der anderen Seite von (0|0) genauso weit weiter, ...
◦ dann ist man wieder genau auf dem Graphen.
◦ Das meint Punktsymmetrie.

Was meint das für die Funktionswerte?


◦ Bei punktsymmetrischen Graphen gilt immer:
◦ Setzt man für x eine Zahl ein, dann ergibt das einen y-Wert.
◦ Setzt man für x die entsprechende Gegenzahl ein (mit Minus), ...
◦ dann kriegt man denselben Funktionswert nur mit umgekehrten Vorzeichen.
◦ Kurz: Die Funktionswerte von Zahl und Gegenzahl unterscheiden sich im Vorzeichen.
◦ Formal: f(x) = -f(-x).

Was hat das mit einer Drehung zu tun?


◦ Wenn man den Graphen um 180 Grad um (0|0) dreht, dann
◦ sieht er wieder genauso aus wie vorher. Man sagt:
◦ Die 180-Grad-Drehung bildet ihn wieder auf sich selbst ab.
◦ Das geht mit punktsymmetrischen Graphen immer.

Warum ist das Wort mehrdeutig?


◦ In der Schulmathematik wird Punktsymmetrie oft nur auf den Punkt (0|0) bezogen.
◦ Ein Graph kann aber auch symmetrisch zu einem ganzen anderen Punkt sein.
◦ So ist zum Beisiel die Gerade g(x)=2x+1 punktsymmetrisch zum Punkt (0|1).
◦ Zu sagen, dass g(x) nicht punktsymmetrisch ist, wäre eigentlich falsch.
◦ g(x) ist zwar nicht punktsymmetrisch zu (0|0), aber wohl zum Punkt (0|1).

Wie vermeidet man Missverständnisse?


◦ Am besten sagt man immer, worauf sich die Symmetrie bezieht:
◦ Gut: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0).
◦ Gut: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt (0|3).
◦ Niicht gut: Der Graph ist punktsymmetrisch (wozu?).

Welche Graphen sind immer punktsymmetrisch zu (0|0)?

◦ Die Graphen aller proportionalen Funktionen,
◦ der Graph reinkubischer Funktionen ohne absolutes Glied,
◦ der Graph der einfachen Sinusfunktion,
◦ der Graph der einfachen Kehrwertfunktion,
◦ überhaupt: alle Graphen von ganzrationalen Funktionen, ...
◦ deren Gleichung nur ungerade Exponenten von x haben.

Graphen spiegeln


◦ Ein gegebener Graph mit Funktionsgleichung soll punktgespiegelt werden.
◦ Dazu negiert man zuerst überall das Funktionsargument.
◦ Anschließend negiert man den gesamten Funktionsterm.
◦ Mehr dazu unter => Punktspiegelung von Graphen

Siehe auch


=> Punktsymmetrie von Graphen ueberpruefen
=> Achsensymmetrische Funktionen [Beispiele]
=> Punktsymmetrische Funktionen [Beispiele]
=> Nicht achsensymmetrisch zur y-Achse
=> Nicht punktsymmetrisch zum Ursprung
=> Kurvendiskussion [Übersicht]





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