WH54 Fachwortlexikon
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Bildbeschreibung und Urheberrecht

Punktsymmetrie von Graphen


Übersicht


Basiswissen


Der Graph ist punktgespiegelt am Koordinatenursprung (0|0). Es gilt: f(x) = -f(-x). Dreht man den Graphen 180° um (0|0), dann sieht er wieder aus wie am Anfang.

Was meint Punktsymmetrie von Graphen?


◦ In der Schulmathematik meint das: punktsymmetrisch zum Ursprung.
◦ Der Ursprung ist dabei der Punkt (0|0) im Koordinatensystem.
◦ Der Graph einer Funktion ist dann am Ursprung (0|0) punktgespiegelt:
◦ Nimmt man irgendeinen Punkt des Graphen und zieht eine Linie zu (0|0), ...
◦ und geht dann auf der anderen Seite von (0|0) genauso weit weiter, ...
◦ dann ist man wieder genau auf dem Graphen.
◦ Das meint Punktsymmetrie.

Was meint das für die Funktionswerte?


◦ Bei punktsymmetrischen Graphen gilt immer:
◦ Setzt man für x eine Zahl ein, dann ergibt das einen y-Wert.
◦ Setzt man für x die entsprechende Gegenzahl ein (mit Minus), ...
◦ dann kriegt man denselben Funktionswert nur mit umgekehrten Vorzeichen.
◦ Kurz: Die Funktionswerte von Zahl und Gegenzahl unterscheiden sich im Vorzeichen.
◦ Formal: f(x) = -f(-x).

Was hat das mit einer Drehung zu tun?


◦ Wenn man den Graphen um 180 Grad um (0|0) dreht, dann
◦ sieht er wieder genauso aus wie vorher. Man sagt:
◦ Die 180-Grad-Drehung bildet ihn wieder auf sich selbst ab.
◦ Das geht mit punktsymmetrischen Graphen immer.

Warum ist das Wort mehrdeutig?


◦ In der Schulmathematik wird Punktsymmetrie oft nur auf den Punkt (0|0) bezogen.
◦ Ein Graph kann aber auch symmetrisch zu einem ganzen anderen Punkt sein.
◦ So ist zum Beisiel die Gerade g(x)=2x+1 punktsymmetrisch zum Punkt (0|1).
◦ Zu sagen, dass g(x) nicht punktsymmetrisch ist, wäre eigentlich falsch.
◦ g(x) ist zwar nicht punktsymmetrisch zu (0|0), aber wohl zum Punkt (0|1).

Wie vermeidet man Missverständnisse?


◦ Am besten sagt man immer, worauf sich die Symmetrie bezieht:
◦ Gut: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0).
◦ Gut: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt (0|3).
◦ Niicht gut: Der Graph ist punktsymmetrisch (wozu?).

Welche Graphen sind immer punktsymmetrisch zu (0|0)?


◦ Die Graphen aller proportionalen Funktionen,
◦ der Graph reinkubischer Funktionen ohne absolutes Glied,
◦ der Graph der einfachen Sinusfunktion,
◦ der Graph der einfachen Kehrwertfunktion,
◦ überhaupt: alle Graphen von ganzrationalen Funktionen, ...
◦ deren Gleichung nur ungerade Exponenten von x haben.

Wie kann man einen Graphen punktspiegeln an (0|0)?


◦ Dazu gibt es zwei praktisch-anschauliche Methoden.
◦ Man kann ihn schrittweise über die x- und y-Achse spiegeln.
◦ Oder man dreht ihn einfach um 180° um den Punkt (0|0).
◦ Beide Verfahren führen immer zum selben Ergebnis.

Punktspiegeln über x- und y-Achsen


◦ Ein gegebener Graph mit Funktionsgleichung soll punktgespiegelt werden.
◦ Man nimmt dazu einen beliebigen Punkt auf dem Graphen.
◦ Man spiegelt ihn zuerst an der x-Achse.
◦ Aus dem Punkt (4|2) wird dann zum Beispiel: (4|-2)
◦ Dann spiegel man diesen neuen Punkt an der y-Achse.
◦ Aus dem Punkt (4|-2) wird dann der Punkt: (-4|-2)
◦ Das mit allen Punkten des Graphen gemacht ergibt eine Punktspiegelung.
◦ Mehr dazu unter => Punktspiegelung von Graphen

Punktspiegelung über die Stecknadel-Methode


◦ Man stellt sich die Koordinatenachsen auf den Tisch gezeichnet vor.
◦ Der eigentliche Graph (die Kurve alleine) wäre auf Klarsichtfolie gezeichnet.
◦ Man sticht gedanklich eine Stecknadel durch die Folie in den Punkt (0|0).
◦ Dann dreht man die Folie um 180° (Halbkreis).
◦ Dabei sind die x- und y-Achse an der alten Stelle geblieben.
◦ Die gedrehte Folien-Kurve ist die punktgespiegelte Funktion.

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