Punktsymmetrie von Graphen überprüfen
Bedeutung | Methoden
Basiswissen
Graphisch und rechnerisch: hier werden Methoden vorgestellt, wie man für eine gegeben Funktionsgleichung überprüft, ob der Graph punktsymmetrisch zu (0|0) ist.
Was meint Punktsymmetrie?
Wenn von Punktsymmetrie bei einem Graphen die Rede ist, dann ist meistens die Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung (0|0) gemeint. Ob ein Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, kann man leicht am Graphen abschätzen:
Doppelwegmethode
Man geht auf irgendeinen Punkt auf dem Graphen. Von dort aus geht man auf dem kürzesten Weg zum Koordinatenursprung. Dann geht man auf der anderen Seite die gleiche Strecke weiter. Wenn mann dann wieder auf einem Punkt des Graphen herauskommt, und das für alle Punkte des Graphen funktioniert, dann ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.
Drehungsmethode
Man kann gedanklich versuchen, irgendeinen Teil des Graphen um 180 Grad um den Ursprung zu drehen. Wenn der gedreht Teil des Graphen dann vollständig auf einem nichtgedrehten Teil liegt, und wenn das wieder für alle Teile des Graphen klappt, dann ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.
Exponentenmethode
Sind bei einer ganzrationalen Funktion alle Exponenten von x ungerade, dann ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Im Funktionsterm dürfen keine absoluten Glieder vorkommen. Für andere Funktionstypen gelten zum Teil andere Regeln. Für die Exponentenmethode betrachtet man alle Exponenten von x. Wichtig ist dass x dasselbe ist wie x hoch 1. Und eine Zahl ist wie Zahl mal x°:
- 4x³ ⭢ der Exponent ist 3 und damit ungerade
- 5x² ⭢ der Exponent ist 2 und damit gerade
- 7x ⭢ ist wie 7x¹ ⭢ der Exponent 1 und damit ist ungerade
- 3 ⭢ ist wie 3x° ⭢ der Exponent ist 0 und damit gerade
Formal
- Man nutzt die Symmetriebedingung:
- f(x) = -f(-x)
- Beispiel f(x)=x²
- x² = -(-x)² ⭢ x² = -x² ⭢ nicht punktsymmetrisch
- Beispiel f(x)=x³
- x³ = -(-x)³ ⭢ x³ = x³ ⭢ ist punktsymmetrisch
