Punkt-Normalenform in Achsenabschnittsform

Vektorrechnung

Basiswissen

Gegeben und gesucht

• Gegeben: (X-p)·n = 0 als Punkt-Normalenform der Ebene ↗
  

• Gesucht: x/xo + y/yo + z/zo = 1 Achsenabschnittsform der Ebene ↗
  

Legende

• X = ein beliebiger variabler Ortsvektor auf einen Punkt auf der Ebene
  

• p = ein beliebiger fixer Orstvektor auf einen Punkt der Ebene, also ein Stützvektor ↗
  

• n = ein beliebiger Vektor senkrecht auf der Ebene, also ein Normalenvektor ↗
  

• xo, yo, zo = fixe Zahlen als Achsenabschnitte ↗
  

• x, y, z = variable Koordinaten eines Punktes der Ebene, entsprechen dem Vektor X
  

Grundidee

Zahlenbeispiel

• Gegeben: (X-(4|4|0))·(1|1|2)=0 als Punkt-Normalenform der Ebene ↗
  

• Als Zwischenschritt erst Punkt-Normalenform in Koordinatenform ↗
  

• (1|1|2) ist der Normalenvetor, das gibt über Ablesen: a=1, b=1 und c=2
  

• Nun berechnet man für die Vektoren p und n das sogenannte Skalarprodukt ↗
  

• Das Skalarprodukt (4|4|0)·(1|1|2) gibt 8. Das ist der gesuchte Wert für d.
  

• Alles Zusammenschreiben mit x, y und z als variable Buchstaben: 1x + 1y + 2z = 8
  

• Das ist die Koordinatenform als Zwischenergebnis, die 8 ist das d.
  

• Jetzt der zweite Schritt Koordinatenform in Achsenabschnittsform: (externer Link)
  

• ax + by + cz = d ist der allgemeine Bauplan der Koordinatenform der Ebene ↗
  

• x/xo + y/yo + z/zo = 1 ist der Bauplan der gesuchten Achsenabschnittsform der Ebene ↗
  

• d einzeln geteilt durch die Werte von a, b und c geteilt gibt die Werte für xo, yo und zo.
  

• xo = d/a, hier also: xo = 8
  

• yo = d/b, hier also: yo = 8
  

• zo = d/c, hier also: zo = 4
  

• Alles zusammenfassen:
  

• x/8 + y/8 + z/4 = 1 ✔
  

Wie kann man eine Probe machen?