R


Hessesche Normalenform der Ebene


Anschaulich


Basiswissen


x·n₀ = d: in dieser Darstellung kann man sich eine Ebene recht leicht in einem xyz-Koordinatensystem vorstellen. Dabei gibt es zwei Darstellungsweisen, die aber beide dasselbe meinen. Das wird hier kurz erklärt.

Formeln



Legende



Was ist der Einheitsnormalenvektor?



n₀ anschaulich


Man geht gedanklich zunächst in den Koordinatenursprung (0|0|0). Von dort ausgehend stellt man sich den Normalenvektor n₀ mit seinem hinteren Ende vor. Die Ebene steht dann immer senkrecht auf diesem Normalenvektor. Ihre Lage ist aber durch den Normalenvektor nicht bestimmt. Anders gesagt; jeder Vektor der Länge der Länge 1, der senkrecht zur gedachten Ebene steht ist ein Normalenvektor dieser Ebene.

d anschaulich


Das kleine d steht für einen Zahlenwert. Der Betrag dieses Zahlenwertes gibt die kürzeste Entfernung der Ebene zum Koordinatenursprung (0|0|0) an. Das kleine d ergibt sich immer als Skalarprodukt aus dem Normalenvektor und einem Ortsvektor x vom Koordinatenursprung auf die Ebene.

Abstand Punkt zu Ebene


Mit Hilfe der hesseschen Normalform kann der Abstand eines beliebigen Punkts Q im Raum von einer Ebene E dadurch berechnet werden, dass der Ortsvektor q des Punktes in die Ebenengleichung eingesetzt wird:


Dabei ist q der Orstvektor eines beliebigen Punktes, auch außerhalb der Ebene. n₀ ist der Normalenvektor der Ebene und d der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung. Mehr unter Abstand von Punkt zu Ebene über hessesche Normalenform ↗

Abstand Punkt zu Koordinatensprung


Die Zahl d der hesseschen Normalenform gibt direkt den Abstand der Ebene zum Koordinatenursprung an. Siehe auch Abstand ↗

Umwandlungen, Hessesche Normalenform gegeben



Umwandlungen, Hessesche Normalenform gegeben



Fußnoten