Koordinatenform in Achsenabschnittsform
3D-Ebenen
Basiswissen
Eine Ebene in der sogenannten Koordinatenform ax+by+cz=d soll umgewandelt werden in die Achsenabschnittsform x/xo + y/yo + z/zo = 1. Hier stehe eine kurze Anleitung dazu.
Wie sieht die Koordinatenform aus?
- E: ax+by+cz=d
- Zahlenbeispiel: 1x+1y+2z=8
- a, b, c, und d sind beliebige reelle Zahlen.
- Siehe auch Koordinatenform der Ebene ↗
Wie sieht die Achsenabschnittsform aus
- E: x/xo + y/yo + z/zo = 1
- Zahlenbeispiel: x/8+y/8+z/4=1
- xo, yo und zo sind die Achsenabschnitte der Ebene.
- Auf der rechten Seite steht immer eine 1.
- Siehe auch Achsenabschnittsform der Ebene ↗
Grundidee der Umwandlung
Man teilt beide Seiten der Gleichung durch die Zahl d aus der Koordinatenform. Dadurch wird die rechte Seite zur 1 (Zahl durch Zahl). Dadurch entstehen links Terme der Form Bruch mal Zahl. Bruch mal Zahl kann man auch schreiben als Zahl durch den Kehrwert des Bruches. Das ergibt die gesuchten Werte für xo, yo und zo. Für die nötige Rechenregel, siehe unter Zahl durch Bruch ↗
Die Umwandlung als Rechenschema
Man nimmt die Koordinatenform ax+by+cz=d und teilt die Werte von a, b und c einzel durch d. Das gibt die gesuchten Werte von xo, yo und zo. Gleichzeitig ersetzt man auf der rechten Seite das d durch die Zahl 1:
- xo = d/a
- yo = d/a
- zo = d/a
Zahlenbeispiel
- E1: 4x + 36y + 8z = 2 Koordinatenform der Ebene ↗
- E2: x/(2/4) + y/(2/36) + z/(2/8) kürzen ↗
- E2: x/(1/2) + y/(1/18) + z/(1/4) = 1 ✔
Welchen Sonderfall gibt es?
Wenn das kleine d auf der rechten Seite der Koordinatenform genau den Wert 0 hat kann man die Umwandlung nicht durchführen. Anschaulich interpretiert heißt das, dass die Ebene durch den Koordinatenursprung geht. Damit hat sie auch keine echten Spurpunkte als Achsenabschnitte. Man kann dann als Antwort schreiben, dass die Spurpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen alle im Ursprung (0|0|0) liegen. Siehe auch Spurpunkte von Ebenen ↗