Bildbeschreibung und Urheberrecht Skalarprodukt

Zwei Vektoren so multipliziert, dass eine Zahl herauskommt

Skalar

◦ In der Mathematik meint Skalar eine reine Zahl.
◦ Ein Vektor oder eine Matrix sind kein Skalar.
◦ Skalare sind Zahlen wie: 3; -0,5 oder ½

Skalarprodukt

◦ Man kann zwei Vektoren so multiplizieren,
◦ dass das Produkt wieder einen Vektor gibt.
◦ Das Ergebnis nennt man das Kreuzprodukt.
◦ Man kann zwei Vektoren aber auch so multiplizieren,
◦ dass das Ergebnis eine reine Zahl, also ein Skalar gibt.
◦ Das ist gemeint mit dem Skalarprodukt.

Berechnung

◦ Ein Vektor besteht aus Komponenten.
◦ Ein erster 3D-Vektor hätte z. B. die Komponenten A, B und C.
◦ Ein anderer 3D-Vektor hätte z. B. die Komponenten d, e und f.
◦ Dann ist das Skalarprodukt: Ad+ Be + Cf
◦ Mehr unter => Skalarprodukt berechnen

Winkel

◦ Stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander, gibt ihr SP immer 0.
◦ Ist das SP zweier Vektoren Null, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.
◦ Einzige Ausnahme: wenn einer der Vektoren der Nullvektor ist.
◦ SP = Länge erster Vektor · Länge zweiter Vektor · cos von Alpha
◦ Alpha ist der (kleinste) Winkel zwischen den beiden Vektoren
◦ Siehe auch => Winkel über Skalarprodukt

Anschaulich

Das Skalarprodukt ist das Produkt aus der Länge des einen Vektors mit der auf ihn projizierten Länge des anderen Vektors. Beispiel: Zeichne ein x-y-Koordinatensystem. Beide Achsen sollen von 0 bis 10 gehen. Zeichne jetzt vom Ursprung ausgehend den Vektor (8|0). Dieser Vektor liegt auf der x-Achse. Zeichne dann den Vektor (4|3). Dieser Vektor geht vom Ursprung aus leicht nach rechts oben. Die Projektion des kleine Vektors auf den Großen kann man sich so vorstellen: Lasse gedanklich von oben senkrechte und parallele Sonnenstrahlen auf den längeren Vektor scheinen. Der kleinere Vektor wird dann einen Schatten auf den längeren Vektor werfen. Dieser Schatten wäre die Projektion. Die Schattenlänge wäre 4. Die Länge des langen Vektors (also 8) mal der Länge der Projektion des anderen Vektors (also 4) ergibt das Skalarprodukt, also 32. Das gleiche Ergebnis käme durch die Summe der Komponentenprodukte heraus: 8·4 + 0·3 = 32.

Standardaufgab

◦ Man soll überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
◦ Gibt ihr Skalaprodukt 0, sind die Vektoren senkrecht zueinander.
◦ Beispiel: Man hat die Vektoren (2|6|-5) und (9|2|6).
◦ Das Skalarprodukt ist 2·9 + 6·2 + (-5)·6 = 0
◦ Die Vektoren sind senkrecht zueinander.

Siehe auch

=> Skalarprodukt berechnen [Beispiel]
=> Skalarprodukte [Beispiele]
=> Winkel über Skalarprodukt
=> Vektorrechnung
=> Kreuzprodukt
=> eng






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