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Nullstellen von kubischen Funktionen über Faktorisieren

Übersicht über häufige Verfahren

Was meint faktorisieren?

◦ Ein Faktor ist ein Teil einer Malkette.
◦ Faktorisieren heißt, dass man einen Term in eine Malkette umwandelt.
◦ Der erste Schritt bei diesem Verfahren ist oft das Ausklammern.
◦ Manchmal muss man auch die 3. binomische Formel verwenden.
◦ Aus Malketten kann man leicht die Nullstellen ablesen.
◦ Mehr unter => Satz vom Nullprodukt

Wann ist die Methode erfolgreich?

◦ Das geht oft gut mit kubischen Funktionen ohne absolutes Glied.
◦ Was das meint steht unter => Absolutes Glied einer kubischen Funktion
◦ Das absolute Glied ist der Teil im Funktionsterm "ohne x":
◦ Beispiel a: f(x)=x³+4x²+x -> faktorisierbar
◦ Beispiel b: f(x)=4x³-x -> faktorisierbar
◦ Beispiel c: f(x)=4x³-9 -> nicht faktorisierbar
◦ Beispiel d: f(x)=x³+x²+1 -> nicht faktorisierbar

1. Schritt

◦ Ausklammern:
◦ Gegeben ist zum Beispiel: f(x) = x³-5x²+6x
◦ Man klammert das x einmal aus, das gibt:
◦ f(x) = x·[x²-5x+6]

2. Schritt

◦ Erste Lösung hinschreiben.
◦ Nach dem Ausklammern steht immer ein x vor der Klammer.
◦ Das ist die erste von insgesamt drei möglichen Nullstellen.
◦ Man schreibt: x = 0

3. Schritt

◦ In der Klammer steht nach dem Ausklammern immer eine quadratische Funktion.
◦ Im Beispiel oben wäre ihr Funktionsterm: x²-5x+6
◦ Von dieser sucht man dann alle möglichen Nullstellen.
◦ Eine Möglichkeit => Nullstellen über pq-Formel
◦ Andere Möglichkeit => Nullstellen über ABC-Formel
◦ Für das Beispiel ergeben sich: x=3 und x=2
◦ Das sind die zwei weiteren Nullstellen.
◦ Man schreibt: x=3 oder x=2.

4. Schritt

◦ Alles Lösungen gemeinsam aufschreiben:
◦ f(x) hat drei Nullstellen:
◦ x=0, x=2 und x=3 ✔

Binomische Formel

◦ Ein Term der Form a²-b² kann direkt faktorisiert werden.
◦ Es gilt: a²-b² = (a+b)·(a-b)
◦ Beispiel: 16-x² wird zu (4+x)·(4-x)
◦ Mehr dazu unter => Dritte binomische Formel rückwärts

Siehe auch

=> Nullstellen von kubischen Funktionen [Hauptseite]
=> Faktorisieren [an sich]
=> Satz vom Nullprodukt
=> 3. binomische Formel
=> Absolutes Glied
=> qck