Verallgemeinerung
Logik
Basiswissen
Als Verallgemeinerung bezeichnet man die Übertragung von Aussagen von wenigen auf mehrere Fälle. Wenn man zum Beispiel beobachtet, dass die Primzahlen von 2 bis 10 alle auch ungerade Zahlen sind, dann kann man verallgemeiner, dass (möglicherweise) überhaupt alle Primazahlen ungerade Zahlen sind[1].
Beispiel Quadratzahlen
Hier ist eine Liste der ersten fünf Quadratzahlen: 1, 4, 9, 16 und 25. Interessant ist hier der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen. Von 1 nach 4 ist die Zahl 3, von 4 nach 9 die Zahl 5, von 9 nach 16 die 7 und von 16 nach 25 die Zahl 9. Man könnte nun vermuten, dass hier eine allgemeinere Gesetzmäßig vorliegt, etwa der Art: für zwei aufeinanderfolgende Quadratzahlen gilt immer, dass ihr Abstand gleich dem Doppelten der Quadratwurzel der ersten der beiden Quadratzahlen erhöht um eins ist. Siehe auch Quadratzahlen ↗
Beispiel Relativitätstheorie
Im Jahr 1905 stellte Albert Einstein seine sogenannte spezielle Relativitätstheorie vor. Darin behandelte er, wie sich Raum und Zeit verändern, wenn sich zwei Systeme mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit zueinander bewegen. Im Jahr 1916 verallgemeinerte Einstein seine Theorie hin zu Systemen, deren Geschwindigkeit zueinander sich auch verändern darf. Dies zweite, umfassendere Theorie enthält alle Fälle der ersten Theorie in sich. Man nennt die erweiterte Version deshalb passend auch die allgemeine Relativitätstheorie ↗
Beispiel Fermatsche Vermutung
Die folgende Verallgemeiner war als unbewiesene Vermutung über gut 350 Jahre hinweg eines der größten Rätsel der Mathematik: für die Gleichung a^n+b^n=c^n gibt es keine Lösung, wenn als Zahlen für a, b und c nur natürliche Zahlen (1, 2, 3, 4…) erlaubt sind. Eine Verallgemeinerung der Mathematik erfordert einen Beweis. Und solche Beweise sind oft sehr schwer zu führen. Siehe auch großer Fermatscher Satz ↗
Beispiel Flächenwachstum
Verdoppelt man von einem Quadrat die Kantenlänge, dann vervierfacht sich der Flächeninhalt gegenbüber dem Quadrat vom Anfang. Diese Erkentnis, dass sich bei einer Verdopplung aller Längen einer Figur deren Flächen vervierfacht, kann auf alle Vierecke und letztendlich auf alle Figuren im zwei- und dreidimensionalen Raum erweitern. Siehe dazu auch Quadratflächenwachstum ↗
Die Verallgemeinerung und die Abstraktion
Bei einer Verallgemeinerung begeht man oft (nicht immer) auch eine Abstraktion. Bei einer Abstraktion vernachlässigt man bewusst Eigenschaften, Details oder Aspekte, die man für eine bestimmte Betrachtung für nicht wichtig hält. Siehe auch Abstraktion ↗
Fußnoten
- [1] Die Verallgemeinerung trifft hier auch zu: jede Primzahl ist immer auch eine ungerade Zahl. Eine gerade Zahl, kann niemals eine Primzahl sein. Siehe auch Primzahl ↗