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Satz von Bayes


P(A|B) = [P(B|A)·P(A)]/[P(B)]


Basiswissen


Mit dem Satz kann man aus einer gegebenen bedingten Wahrscheinlichkeit P(A|B) die umgekehrt gedachte bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) berechnen. Das ginge auch ohne den Satz des Bayes, etwa über die Umkehrung eines Baumdiagrammes, wäre dann aber erheblich viel aufwändiger.

Der Satz von Bayes =====

P(A|B) = [P(B|A)·P(A)]/[P(B)]

Legende


◦ P(A|B) = Wahrscheinlichkeit für A in den Fällen, für die auch B gilt.
◦ P(B|A) = Wahrscheinlichkeit für B in den Fällen, für die auch A gilt.
◦ P(A) = Wahrscheinlichkeit für A (egal ob mit oder ohne B)
◦ P(B) = Wahrscheinlichkeit für B (egal ob mit oder ohne B)

Zweck


Der Satz von Bayes verbindet zwei unterschiedliche bedingte Wahrscheinlichkeiten in einer Formel. Kennt man eine bedingte Wahrscheinlichkeit, kann man die andere durch Umstellen der Formel oft bestimmen. Siehe auch => Formeln umstellen

Beispiele


Angenommen Konsumforscher hätten Befragungen unter Konsumenten durchgeführt. Dabei haben sie festgestellt: die Wahrscheinlichkeit P(A), dass ein Konsument gerne Kaffee trinkt sei 0,4. Die Wahrscheinlichkeit P(B), dass ein Konsument gerne Süßigkeiten isst, sei 0,6. Die Wahrscheinlichkeit P(B|A), dass ein Kaffeeliebhaber auch gerne Süßigkeiten esse sei 0,7. Daraus kann man die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) berechnen, dass ein Süßigkeitenliebhaber auch gerne Kaffe trinke. Über die Bayes-Formel erhält man: P(A|B) = 0,47 (gerundet). In Sprache: Kaffeliebhaber neigen oft auch zu Süßigkeiten. Süßigkeitenliebhaber hingegen neigen weniger stark zu Kaffee. Siehe auch => bedingte Wahrscheinlichkeit

Original-Literatur


◦ Thomas Bayes: An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances. First published in 1763.

Siehe auch


=> Bedingte Wahrscheinlichkeit
=> Bayes-Schüssel [Versuch]
=> Stochastik
=> Konsum





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