WH54 Fachwortlexikon
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pq-Formel


x = -p/2 ± Wurzel aus [(p/2)²-q]


Basiswissen


Die Standardformel: man hat eine quadratische Gleichung in Normalform gegeben: 0 = x² + px + q. Für p und q stehen in der Normalform irgendwelche Zahlen. Das x ist dann die Unbekannte. Mit der pq-Formel kann man jede solche Gleichung immer lösen.

Zweck


◦ Mit der pq-Formel kann man jede quadratische Gleichung lösen.
◦ Mit der pq-Formel kann man immer alle Nullstellen von quadratischen Funktionen finden.
◦ Die Nullstellenberechnung steht unter => Nullstellen über pq-Formel
◦ Hier geht es um das Lösen von quadratischen Gleichungen.

Formeln


◦ x = -p/2 ± Wurzel aus [(p/2)²-q]
◦ x = -p/2 ± √[(p/2)²-q]

Voraussetzung


◦ Mit der pq-Formel kann man nur quadratische Gleichungen lösen.
◦ Mit der pq-Formel kann man jede quadratische Gleichung lösen.
◦ Die Gleichung muss in der Normalform vorliegen.

Normalform


◦ 0 = x² + px + q
◦ Links vom Gleichzeichen darf nur 0 stehen.
◦ Rechts kommt zuerst das x² ohne irgendetwas davor.
◦ Dann darf ein + oder - mit einer Zahl und einem x danach kommen.
◦ Am Ende darf ein + oder - mit einer Zahl ohne x kommen.
◦ Normalform nicht OK: 4=x²-8x+16 | links keine 0
◦ Normalform nicht OK: 0=2x²-8x+16 | 2 vor dem x²
◦ Normalform nicht OK: 0=-x²-8x+16 | - vor dem x²
◦ Normalform OK: 0=x²-8x+16 ✔
◦ Normalform OK: 0=x²+4x+0 ✔
◦ Normalform OK: 0=x²+0x+4 ✔
◦ Normalform OK: 0=x²+0x+0 ✔

Vorbereitung


◦ Falls man noch nicht die Normalform hat, ...
◦ dann muss man sie durch Umformen herstellen.
◦ Siehe unter => Normalform für pq-Formel herstellen

p und q


◦ Man hat die Normalform: 0 = x² - 8x + 15
◦ p und q aus der Normalform ablesen:
◦ Das p ist der Faktor (Zahl) vor dem x.
◦ Achtung: das Vorzeichen gehört dazu.
◦ Im Beispiel ist das p die Zahl -8.
◦ Das q ist die alleinstehende Zahl ohne x.
◦ Im Beispiel ist das p die +15

Häufige Fehler


-> vor dem x-Quadrat steht noch ein Faktor (darf bei Normalform nicht sein).
-> Vorzeichen von p und q nicht dabei. Die Vorzeichen gehören dazu.

Tipp


◦ Ein Vorzeichen gehört immer mit zur Zahl.
◦ Wenn vor dem x keine Zahl steht, dann ist p=1.

p fehlt


◦ Wenn es gar kein x ohne Quadrat gibt, dann ist p=0.
◦ Beispiel: 0 = x² + 16 -> p = 0

q fehlt


◦ Wenn es am Ende keine Zahl für q gibt, dann ist q=0.
◦ Beispiele: 0 = x² - 4x -> q = 0

Formel


◦ Erste Nullstelle: x₁ = -p/2 + Wurzel aus [(p/2)² - q]
◦ Zweite Nullstelle: x₂ = -p/2 - Wurzel aus [(p/2)² - q]

Lösungen


◦ Der Term unter der Wurzel heißt Diskriminante.
◦ Ist die Diskriminante kleiner als Null, dann gibt es keine Lösungen.
◦ Ist die Diskriminante genau gleich Null, dann gibt es genau eine Lösung.
◦ ist die Diskriminante größer als Null, dann gibt es zwei Lösungen.
◦ Mehr unter => Diskriminante bei pq-Formel

Beispiel I


0 = x² -8x + 15
p = -8
q = 15
x₁ = 5 ✔
x₂ = 3 ✔

Beispiel II


0 = x² + 4x
p = 4
q = 0
x₁ = -4 ✔
x₂ = 0 ✔

Beispiel III


0 = x² - 16
p = 0
q = -16
x₁ = -4 ✔
x₂ = 4 ✔

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