WH54 Fachwortlexikon
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Faktorisierte Form in Normalform für pq-Formel


Sinnlosigkeit und Verfahren


Basiswissen


Eine quadratische Gleichung kann man immer mit der pq-Formel lösen. Um die pq-Formeln anwenden zu können, muss die Gleichung aber in der sogenannten Normalform vorliegen. Tut sie das nicht, muss die Gleichung erst in die Normalform umgewandelt werden. Weiter unten wird erklärt, wie das geht. Das xx meint x-quadrat:

Gegeben: Faktorisierte Form: 0 = (x+a)·(x+b)
Gesucht: Normalform: 0 = xx + px + q

Sinnlos


Bevor du dir betrachtest, wie die Umwandlung geht, solltest du dir aber klar machen, dass sie für faktorisierte Formen eigentlich gar nicht nötig ist. Die pq-Formel braucht man normalerweise nur, um die Lösungen der Gleichung herauszufinden. Die Lösungen kann man aber auch sofort aus der faktorisierten Form ablesen:

0 = (x+4)·(x-5)

Der Satz vom Nullprodukt sagt, dass eine ganze Malkette sofort zu Null wird, wenn ein Faktor in ihr Null wird. Die Faktorisierte Form meint aber genau das: die Gleichung ist auf der rechten Seite eine Malkette. Also wird die Gleichung zu 0, wenn die linke Klammer 0 wird. Das passiert für x gleich -4. Oder die rechte Klammer wird zu 0. Das passiert für x gleich 5. Man kann sofort die Lösungen der Gleichung ablesen, nämlich -4 und 5. Es wird jetzt trotzdem noch erklärt, wie man das auch über die pq-Formel herausfinden würde.

Verfahren


◦ linke Seite wird überhaupt nicht verändert (die 0 bleibt).
◦ rechte Seite ausmultiplizieren gäbe hier: xx + 4x - 5x - 20
◦ rechte Seite zusammenfassen, gäbe hier: xx - 1x - 20
◦ ganze Gleichung hinschreiben: 0 = xx - 1x - 20

Das ist die Normalform für die pq-Formel.

◦ p wäre hier -1
◦ q wäre hier 20

Siehe auch


=> pq-Formel





© Sabine & Gunter Heim, 2020