WH54 Fachwortlexikon
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Quadratische Gleichungen über pq-Formel


x = -p/2 ± √[(p/2)²-q]


Basiswissen


0 = x²-8x+15 ist ein Beispiel für eine quadratische Gleichung. p ist hier die Zahl -8 und q die Zahl 15. Mit der pq-Formel erhält man dann die Lösungen x=3 und x=5. Das Verfahren wird hier Schritt-für-Schritt erklärt.

Wofür braucht man die Formel?


◦ Die pq-Formel funktioniert nur für quadratische Gleichungen.
◦ Mit ihr kann man alle quadratischen Gleichungen lösen.
◦ Lies mehr unter => quadratische Gleichung

Was ist die Normalform?


◦ Die Gleichung muss in der sogenannten Normalform vorliegen.
◦ So sieht die Normalform aus: 0 = x² + px + q.
◦ Links steht eine 0, dann kommt das Gleichzeichen.
◦ Das kommt sofort das x² ohne irgendetwas davor.
◦ Dann darf (muss aber nicht) plus oder minus ein Vielfaches von x kommen.
◦ Am Ende darf plus oder minus irgendeine Zahl kommen.
◦ Hat die Gleichung noch nicht diese Form, kann man sie umformen.
◦ Wie das geht steht unter => Normalform für pq-Formel

Wozu braucht man die Normalform?


◦ Aus ihr liest man die Zahlen für p und q ab:
◦ Das p ist der Faktor (Malzahl) vor dem x.
◦ Das q ist die alleinstehende Zahl ohne x.
◦ Tipp 1: die Vorzeichen gehören zu den Zahlen.
◦ Tipp 2: wenn es keinen Term nur mit x gibt, dann ist p=0.
◦ Tipps 3: wenn es keinen Term ohne x oder x² gibt, dann ist q=0.
◦ Beispiel: bei 0=x²-4x+3 wäre p=-4 und q=3.

Wie lautet die Formel?


Erste Nullstelle: -p/2 + Wurzel aus [(p/2)² - q]
Zweite Nullstelle: -p/2 - Wurzel aus [(p/2)² - q]

Gibt es immer Lösungen bzw. Nullstellen?


-> Was unter der Wurzel steht heißt allgemein Radikand.
-> Bei der pq-Formel nennt man den Radikanden auch Diskriminante.
-> Ist die Diskriminante ausgerechnet > 0 gibt es zwei Lösungen/Nullstellen.
-> Ist die Diskriminante ausgerechnet = 0 gibt es genau eine Lösung/Nullstelle.
-> Ist die Diskriminante ausgerechnet < 0 gibt es gar keine Lösung/Nullstellen.

Was sind häufige Fehler?


-> vor dem x-Quadrat steht noch ein Faktor (darf bei Normalform nicht sein).
-> Vorzeichen von p und q nicht dabei. Die Vorzeichen gehören dazu.

Beispiel I


0 = x² + 4x
p=4 und q=0
Lösungen: -4 und 0

Beispiel II


0 = x² -10x + 9
p = -10
q = 9
Lösungen: 9 und 1

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