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Grenzmatrix


Matrizenrechnung: quadratisch, alle Spalten gleich


Kurzinfo


Definition: Wenn A die Übergangsmatrix eines Austauschprozesses ist und wenn es eine Potenz von Aⁿ (A^n, meint: A hoch n) gibt, bei der kein Element der Matrix 0 ist und wenn dann alle Spalten (von oben nach unten) der Matrix identisch sind, dass ist die Matrix Aⁿ die Grenzmatrix des Austauschprozesses.

In welches Thema gehört das?


◦ Innerhalb der Mathematik gehört das zur Matrizenrechnung.
◦ Dort tauchen Grenzmatrizen bei (stochastischen) Übergangsprozessen auf.
◦ Siehe auch => Grenzmatrix berechnen

Wie sieht die Grenzmatrix aus?


◦ Sie besteht aus Zeilen und Spalten.
◦ Die Matrix ist quadratisch: genauso viel Spalten wie Zeilen
◦ In jedem Feld steht eine Zahl.
◦ Die Zahlen müssen alle zwischen 0 und 1 liegen.
◦ Die Summe aller Zahlen in einer Spalte gibt immer 1.
◦ Die Summe aller Zahlen in einer Zeile muss nicht 1 geben.
◦ Die Spalten sind alle gleich.
◦ Die Zeilen dürfen verschieden sein.
◦ Jede Spalte der Grenzmatrix ist gleich dem Vektor X ...
◦ für die stabile Verteilung.

Was bedeutet die Grenzmatrix?


◦ Bei Übergangsprozessen wird aus einer alten eine neue Verteilung berechnet.
◦ Die alte und die neue Verteilung wird durch den Zustandsvektor abgebildet.
◦ Zustandsvektor für alte Verteilung mal Übergangsmatrix = neuer Zustand
◦ Ist die Übergangsmatrix eine Grenzmatrix, dann ...
◦ ist das Ergebnis der Multiplikation wieder die alte Verteilung.
◦ Das heißt: die Übergangsmatrix ändert nichts mehr an der Verteilung.
◦ Jede Spalte der Matrix ist gleich dieser Verteilung.
◦ Diese Verteilung heißt dann "stationäre Verteilung".
◦ Der Vektor dazu heißt Fixvektor.
◦ Siehe auch => stationaäre Verteilung

Gibt es immer eine Grenzmatrix?


◦ Nein, aber man kann es überprüfen.
◦ Man nimmt eine bekannte Übergangsmatrix M.
◦ Man darf von ihr beliebige natürlichzahlige Potenzen bilden.
◦ Erlaubt wären also M hoch 1, M hoch 2, M hoch 15 und so weiter.
◦ Wenn es unter diesen Potenzen mindestens eine Zeile mit nur
◦ positiven Werten gibt, dann existiert eine Grenzmatrix.

Wie findet man die Grenzmatrix?


=> Grenzmatrix über Taschenrechner
=> Grenzmatrix über LGS

Synonyme


=> Stationäre Matrix
=> Stabile Matrix
=> Grenzmatrix

Siehe auch


=> Matrizenrechnung [Übersicht]
=> Grenzmatrix berechnen
=> Stationäre Verteilung
=> Stabile Verteilung





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