WH54 Fachwortlexikon
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Bildbeschreibung und Urheberrecht

Grenzmatrix


Matrizenrechnung: quadratisch, alle Spalten gleich


Basiswissen


Definition: Wenn A die Übergangsmatrix eines Austauschprozesses ist und wenn es eine Potenz von Aⁿ (A^n, meint: A hoch n) gibt, bei der kein Element der Matrix 0 ist und wenn dann alle Spalten (von oben nach unten) der Matrix identisch sind, dass ist die Matrix Aⁿ die Grenzmatrix des Austauschprozesses.

In welches Thema gehört das?


◦ Innerhalb der Mathematik gehört das zur Matrizenrechnung.
◦ Dort tauchen Grenzmatrizen bei (stochastischen) Übergangsprozessen auf.
◦ Siehe auch => Grenzmatrix berechnen

Wie sieht die Grenzmatrix aus?


◦ Sie besteht aus Zeilen und Spalten.
◦ Die Matrix ist quadratisch: genauso viel Spalten wie Zeilen
◦ In jedem Feld steht eine Zahl.
◦ Die Zahlen müssen alle zwischen 0 und 1 liegen.
◦ Die 0 selbst ist als Zahlenwert aber nicht erlaubt.
◦ Die Summe aller Zahlen in einer Spalte gibt immer 1.
◦ Die Summe aller Zahlen in einer Zeile muss nicht 1 geben.
◦ Die Spalten sind alle gleich.
◦ In einer Zeile stehen nur gleiche Zahlen.
◦ Die Zeilen untereinander dürfen verschieden sein.

Was bedeutet die Grenzmatrix?


◦ Die Grenzmatrix spielt eine Rolle bei Übergangsprozessen (Austauschprozesse).
◦ Bei Übergangsprozessen wird aus einer alten eine neue Verteilung berechnet.
◦ Die alte und die neue Verteilung wird durch den Zustandsvektor abgebildet.
◦ Zustandsvektor für alte Verteilung mal Übergangsmatrix = neuer Zustand
◦ Ist die Übergangsmatrix eine Grenzmatrix, dann ...
◦ ist das Ergebnis der Multiplikation wieder die alte Verteilung.
◦ Das heißt: die Übergangsmatrix ändert nichts mehr an der Verteilung.
◦ Eine Spalte der Grenzmatrix gibt die Verteilung anteilsmäßig an.
◦ Siehe auch => Fixvektor

Gibt es immer eine Grenzmatrix?


◦ Nein, aber man kann es überprüfen.
◦ Man nimmt eine bekannte Übergangsmatrix M.
◦ Man darf von ihr beliebige natürlichzahlige Potenzen bilden.
◦ Erlaubt wären also M hoch 1, M hoch 2, M hoch 15 und so weiter.
◦ Wenn es unter diesen Potenzen mindestens eine Zeile mit nur
◦ positiven Werten gibt, dann existiert eine Grenzmatrix.

Wie findet man die Grenzmatrix?


=> Grenzmatrix über Taschenrechner
=> Grenzmatrix über LGS

Synonyme


=> Stationäre Matrix
=> Stabile Matrix
=> Grenzmatrix

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