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Gebrochener Exponent


4 hoch 3/2


Basiswissen


Gebrochen heißt hier so viel wie: als Bruch geschrieben. Ein Ausdruck irgendwas-hoch-Bruch hat also einen gebrochenen Exponenten. Gebrochene Exponenten verbinden die Idee der Potenzen mit der Idee der Wurzel.

Vorab


◦ Die 4 ist die Basis.
◦ 3/2 ist der Exponent.
◦ Ein gebrochener Exponent meint,
◦ dass der Exponent ein Bruch ist.

Umformungen


◦ Es gibt zwei Arten, wie man das rechnen kann:
◦ 1. Weg: a hoch m/n = (a hoch m) und daraus die n-te Wurzel
◦ 2. Weg: a hoch m/n = (n-te Wurzel aus a) und das hoch m

Zahlenbeispiel


◦ 4 hoch 3/2
◦ 1. Weg: Erst 4 hoch 3 -> 64 -> dann Wurzel aus 64 -> 8
◦ 2. Weg: Erst 2-te Wurzel aus 4 -> 64 -> dann hoch 3 -> 8
◦ Auf beiden Wegen kommt die richtige Antwort 8 heraus.

Inkonsistenzen


◦ Dürfte man beliebige reelle Zahlen für a, m und n, ...
◦ einsetzen dann könnten Widersprüche auftreten.
◦ Siehe dazu beispielhaft => (Minus 4)^(ein halb)

Definitionsbereiche


◦ Um Inkonsistenzen innerhalb der Mathematik zu vermeiden,
◦ werden folgende Einschränkungen definiert:
◦ a darf eine beliebige reelle Zahl sein.
◦ Ist a<0 muss m ganzzahlig und n ungerade und natürlich sein.
◦ Ist a=0 muss m ganzzahlig aber nicht 0 sein, n muss natürlich sein.
◦ Ist a>0 muss m ganzzahlig und n natürlich Zahl sein.

Siehe auch


=> Gebrochener Wurzelexponent
=> Potenzrechnung
=> Wurzelrechnung
=> n-te Wurzel





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