Standardabweichung aus Binomialverteilung
σ = √(n·p·(1-p))
Basiswissen
Die Standardabweichung gibt in etwa an, wie weit die Trefferhäufigkeiten im Schnitt von ihrem gemeinsamen Durchschnittswert entfernt sind. Sie spielt auch eine Rolle im Zusammenhang mit dem Satz von Moivre-Laplace. Beides ist hier kurz vorgestellt.
Vorab
- Die Standardabweichung wird oft mit einem kleinem Sigma oder s abgekürzt.
- Binomialverteilung gehört zum Thema Bernoulli-Kette ↗
Formel
- σ = √(n·p·(1-p))
Legende
- σ = kleines Sigma, die Standardabweichung ↗
- n = Länge der Bernoulli-Kette [Anzahl der Teilversuche] ↗
- p = Trefferwahrscheinlichkeit für einen Teilversuch
- √ = Das Wurzelzeichen ↗
Wie sieht ein Rechenbeispiel aus?
- Man hat eine Bernoulli-Kette der Länge n = 100 (z. B.: 100 mal würfeln).
- Als Trefferwahrscheinlichkeit p wählt man ⅙ (das sind fast 17 %).
- Man nimmt die Formel: σ = √(n·p·(1-p))
- Und setzt ein: - σ = √(100·⅙·(1-⅙))
- Das Ergebnis ist σ ≈ 3,7 ✔
Einige Beispielergebnisse zum Würfeln
- Man würfelt mit einem fairen Würfel, siehe fairer Würfel ↗
- Damit ist p=⅙, das ist die Trefferwahrscheinlichkeit ↗
- Dann erhält man für unterschiedliche n folgende Standardabweichungen σ:
- n=1, p=⅙ → σ≈0,37 ✔
- n=2, p=⅙ → σ≈0,53 ✔
- n=3, p=⅙ → σ≈0,65 ✔
- n=4, p=⅙ → σ≈0,75 ✔
- n=5, p=⅙ → σ≈0,83 ✔
- n=6, p=⅙ → σ≈0,91 ✔
- n=7, p=⅙ → σ≈0,99 ✔
- n=8, p=⅙ → σ≈1,0,5 ✔
- n=9, p=⅙ → σ≈1,11 ✔
- n=10, p=⅙ → σ≈1,18 ✔
- n=20, p=⅙ → σ≈1,67 ✔
- n=30, p=⅙ → σ≈2,04 ✔
- n=40, p=⅙ → σ≈2,36 ✔
- n=50, p=⅙ → σ≈2,64 ✔
- n=60, p=⅙ → σ≈2,89 ✔
- n=65, p=⅙ → σ≈3,00 ✔
- n=70, p=⅙ → σ≈3,12 ✔
- n=100, p=⅙ → σ≈ ✔
Was sagt der Satz von Moivre-Laplace?
Bei konstanter Trefferwahrscheinlichkeit p wird mit wachsendem Länge n der Bernoulli-Kette auch die Standardabweichung σ immer größer. Überschreitet der Wert für σ die Zahl 3, dann kann man die Binomialverteilung mathematisch näherungsweise so behandeln als sei sie auch eine Normalverteilung. Beim Würfeln mit einem fairen Würfel ist das ab n=65 der Fall. Das heißt zum Beispiel, dass das Histogramm der Binomialverteilung fast symmetrisch ist, dass der Erwartungswert gleich dem Median ist und dass die sogenannten Sigmaregeln gelten. Eine Binomialverteilung näherungsweise wie eine Normalverteilung berechnen zu können, erleichtert viele Fragestellungen. Lies mehr dazu unter Satz von Moivre-Laplace ↗
Was sind die Sigmaregeln?
- Bei langen Bernoulli-Ketten ist das n groß.
- Je größer das n ist, desto symmetrischer wird die Verteilung.
- Für große n wird das Säulendigramm immer mehr zu einer Glockenkurve.
- Wenn das Säulendiagramm einer Glockenkurve ähnelt gelten die Sigmaregeln:
- Etwa 68 % der Werte liegen ein Sigma entfernt vom Erwartungswert.
- Mehr dazu unter Sigmaregeln ↗
Was sagt die Standaradabweichung über den Graphen?
- Der Graph einer Binomialverteilung heißt üblicherweise Histogramm.
- Je größer die Standardwabweichung Sigma, desto weniger hoch und weiter auseinandergezogen, also flacher ist der Graph.
- Je kleiner die Standardwabweichung Sigma, desto höher und enger zusammengedrückt, also steiler ist der Graph.
Was sagt eine kleine Standardabweichung anschaulich?
Anschaulich gesprochen bedeutet eine kleine Standardabweichung, dass Werte nahe am gemeinsamen arithmetischen Mittelwert sehr häufig sind. Es gibt also wenige Abweichungen oder es gibt kaum extreme Abweichung. Untersucht man zum Beispiel die Größe Muschelschalen an der Nordsee, würde man sagen, dass die Muscheln fast alle eine ähnliche Größe haben.
Was sagt eine große Standardabweichung anschaulich?
Anschaulich gesprochen bedeutet eine große Standardabweichung, dass Werte nahe am gemeinsamen arithmetischen Mittelwert eher selten sind. Es gibt also viele Abweichungen oder es gibt einige extreme Abweichung weit entfernt vom Mittelwert. Untersucht man zum Beispiel die Größe von Muschelschalen an der Nordsee, würde man sagen, dass es sehr viele kleine und sehr viele große Muscheln aber kaum mittelgroße Muscheln gibt. Siehe auch Muschelprobe I ↗
