Parameterform in Zwei-Punkte-Form
Umwandeln
Grundidee
Gegeben ist eine Geradengleichung in der sogenannten Parameterform mit Vektoren x = p+r·u. Gesucht ist eine Gleichung für dieselbe Gerade in der Zwei-Punkte-Form. Die Lösungsidee zur Umwandlung ist es, aus der Parameterform zwei Punkte zu erzeugen.
Gegeben und gesucht
- Gegeben: x = p+ru Parameterform der Geradengleichung[2D und 3D] ↗
- Gesucht: y = (Y2-Y1)/(X2-X1)·(x-X1)+Y1 Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung ↗
Legende
- y oder auch f(x) ist der Funktionswert ↗
- x ist bei 2D-Geraden die unabhängige Variable ↗
- x ist bei 3D-Geraden ein Ortsvektor ↗
- X1 ist der x-Wert von einem festen Punkt
- X2 ist der x-Wert von einem festen Punkt
- Y1 ist der y-Wert von einem festen Punkt
- Y2 ist der y-Wert von einem festen Punkt
- p ist bei der Parameterform der Stützvektor ↗
- r ist bei der Parameterform der Laufparameter ↗
- u ist bei der Parameterform der Richtungsvektor ↗
Die Lösungsidee Schritt-für-Schritt
- Der Stützvektor p der Parameterform kann als Punkt auf der Geraden gedeutet werden.
- Wenn die Vektorkoordinaten (xs ys) sind, dann sind die Punktkoordinaten (xs|ys).
- Das sind dann auch die Koordinaten von (X1|Y1) und man hat: X1 = xs und Y1 = ys
- Nun benötigt man noch einen zweiten Punkt auf der Geraden.
- Dafür kann man für den Laufparameter eine beliebige Zahl einsetzen.
- Immer einsetzen kann man zum Beispiel die Zahl 10.
- Damit erhält man einen weiteren Punkt auf der Geraden.
- Dieser gibt die Koordinaten X2 und Y2.
- Das kleine x in der Zwei-Punkte-Form bleibt als Buchstabe stehen.
- Man setzt dann die gefunden Zahlen ein in: y = (Y2-Y1)/(X2-X1)·(x-X1)+Y1
Zahlenbeispiel
- Gegeben ist x = (0 2) + r·(1 4)
- Das p ist (0 2) und das u ist (1 4).
- p gibt den Punkt (0|2).
- Für r die 10 einsetzen gibt den Punkt (10|42).
- Beides einsetzen in y = (Y2-Y1)/(X2-X1)·(x-X1)+Y1 gibt:
- y = (42-2)/(10-0)·(x-0)+2 ✔
- Vereinfachen gibt:
- y = 4x+2