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Extremwertaufgaben über Analysis

Allgemeines Lösungsschema | Aufgabensammlung unter => qck

1. Zielgröße festlegen
1. Die Zielgröße ist das, was mini- oder maximal werden soll.
1. Buchstaben für die Zielgröße festelegen, z. B. A für eine Fläche.

2. Hauptbedingung aufstellen
2. Die Hauptbedingung ist eine Formel.
2. Links vom Gleichzeichen steht nur die Zielgröße.
2. Rechts steht eine Formel, wie man die Zielgröße berechnen könnte.
2. Diese Formel darf rechts mehrere Unbekannte haben.
2. Umgebe jede einzelne Unbekannte mit einer Klammer.

0. Zwischengedanke:
0. Gleich soll die Zielfunktion erstellt werden.
0. Die Zielfunktion ist wie die Hauptbedingung, ...
0. aber sie darf rechts nur eine Unbekannte stehen haben.
0. Das hinzukriegen ist die Aufgabe der Nebenbedingung.

3. Nebenbedingung aufstellen
3. Man nimmt die rechtsseitigen Unbekannten der Hauptbedingung.
3. Man sucht und formuliert irgendeine formelhafte Beziehung zwischen ihnen.
3. Das nennt man dann die Nebenbedingung.
3. Die Nebenbedingung jetzt nach irgendeiner der Unbekannten umstellen
3. Umstellen meint: diese Unbekannte steht am Ende links alleine.

4. Zielfunktion aufstellen
4. Man verbindet jetzt Haupt- und Nebenbedinung über das => Einsetzverfahren
4. Man setzt dazu den Term rechts aus der umgestellen Nebenbedingung für die ...
4. entsprechende Unbekannte aus der Hauptbedingung ein.
4. Jetzt hat man rechts in der Hauptbedinung nur noch eine Unbekannte.
4. Ab jetzt heißt die Hauptbedingung dann Zielfunktion.

5. Globale Extrempunkte bestimmen
5. Wenn man die Zielfunktion hat, dann bestimmt den Definitionsbereich:
5. Lege den kleinsten sinnvoll möglichen Wert für die Unbekannte fest.
5. Lege den größten sinnvoll möglichen Wert für die Unbekannte fest.
5. Der Definitionsbereich sind alle Zahlen vom kleinsten bis größten Wert.
5. Globalen Hoch- oder Tiefpunkt (je nach Fragestellung) bestimmen.
5. Global meint hier: innerhalb des gesamten Definitionsbereiches.
5. Für Maxima siehe => Globalen Hochpunkt bestimmen
5. Für Minima siehe => Globalen Tiefpunkt bestimmen
5. Als Ergebnis hat man dann eine Extremstelle.
5. Das ist der x-Wert der Unbekannten.

6. Restliche Unbekannte bestimmen
6. Man nimmt den Wert der in 5 bestimmten Unbekannten.
6. Man setzt ihn in die Nebenbedingung ein.
6. Man stellt die Nebenbedingung um nach der anderen Unbekannten.
6. Damit kann man ihren Wert bestimmen.

7. Extremwert bestimmen
7. Die Werte alle Unbekannten setzt man jetzt in die Hauptbedingung ein.
7. Das gibt den gesuchten Extremwert (maximal oder minimal) der Zielgröße.

8. Antwort
8. Man schreibt die gefundenen Werte für die Unbekannten ...
9. und für die Zielgröße in einem Antwortsatz auf.

Wo steht ein Zahlenbeispiel?

◦ Das Standardbeispiel ist die Maximierung einer Weidefläche.
◦ Es ist vorgerechnet auf => Weideflächenmaximierung über Hochpunkt

Siehe auch

=> Weideflächenmaximierung über Hochpunkt [Rechenbeispiel]
=> Optimierungsaufgaben [auch ohne Analysis]
=> Randverhalten
=> qck