Weideflächenmaximierung über Hochpunkt

Zahlenbeispiel zum Lösungsschema => Extremwertaufgaben über Analysis

Aufgabe

◦ Für ein Pferd soll eine Weidefläche an einem Fluss erstellt werden.
◦ Dafür hat man genau 600 Meter Zaun zur Verfügung.
◦ Die Weidefläche soll möglichst groß werden (maximieren)
◦ Die Weidefläche soll rechteckig sein.
◦ Am Fluss entlang braucht man keinen Zaun.

Lösung

1. Zielgröße festlegen: Die Weidefläche A
1. Die Zielgröße ist immer das, was am Ende ...
1. möglichst groß oder möglichst klein sein soll.

2. Hauptbedingung aufstellen: A=a·b
2. Die Hauptbedingung ist immer eine Formel für die Zielgröße.
2. Sie hat noch zwei Unbekannte rechts, soll aber nur eine haben.
2. Dazu benutzt man gleich die Nebenbedingung.

3. Nebenbedingung aufstellen: b+a+b=600
3. Nebenbedingung umstellen: a=600-2b

4. Zielfunktion aufstellen
4. Hauptbedingung: A=a·b
4. Nebenbedingung: a=600-2b
4. Verbinden über => Einsetzungsverfahren
4. Ziellfunktion ist dann: A=(600-2b)·b
4. Vereinfachen: A=600b-2b²

5. Hochpunkt bestimmen: A'=600-4b
5. Siehe auch => Hochpunkte bestimmen
5. A' null setzen: 0=600-4b <=> b=150
5. Die optimale Zaunbreite ist 150 m.
5. Über Nebenbedinung: optimale Zaunlänge ist 300 m.
5. Über Hauptbedingung: maximale Fläche ist 45000 m².
5. Der Hochpunkt ist (150|45000)

Antwort

◦ Wenn man den Zaun 150 m breit und 300 m lang macht, ...
◦ dann hat das Pferd die größtmögliche Weidefläche.
◦ Die Weidefläche ist dann 45000 m².

Siehe auch

=> Extremwertaufgaben lösen [allgemeines Schema]
=> Hochpunkte bestimmen [ohne Textbezug]
=> qck






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