Tangentengleichung über Punktsteigungsform
Anleitung
Basiswissen
Gegeben ist eine Funktionsgleichung f(x) und der x-Wert eines Punktes (X1|Y1) auf dem Graphen. Daraus kann man die Gleichung t(x) in der Form t(x) = m·(x-X1)+Y1 der Tangente an dem Punkt (X1|X2) bestimmen. Dieser Rechenweg ist schnell ohne große Fehlermöglichkeiten. Das wird hier Schritt für Schritt erklärt.
Kurzanleitung
Man setzt den gegeben x-Wert in f(x) ein und erhält damit die Zahlen des Punktes (X1|Y1) auf dem Graphen von f(x) als Zahlen. Diese Zahlen setzt man in die Punktsteigungsform t(x) =m(x-X1)+Y1 ein. Dann ist nur noch die Steigung m unbekannt. Diese bestimmt man über die erste Ableitung f'(x), indem man dort den gegebenen x-Wert einsetzt einsetzt.
Ausführlich
- Als Beispiel betrachtet wird die Funktion: f(x)=x²
- Gesucht ist die Tangentengleichung t(x) an der Stelle: x=1
- Dazu muss man als Zahlen bestimmen: X1, Y1 und m
X1 bestimmen
- X1 ist gleich dem gegebenen x-Wert:
- Im Beispiel also: X1 = 1 ✔
Y1 bestimmen
- Man setzt X1 ein in f(x):
- Im Beispiel: f(1) = 1²
- Also: Y1 = 1 ✔
m bestimmen
- Die Funktion f(x) einmal ableiten:
- Das gibt im Beispiel: f'(x) = 2x
- Den X1-Wert dort einsetzen.
- f'(1) = 2·1 = 2
- Also: m = 2 ✔
t(x) aufstellen
- Die Punktsteigungsform lautet: t(x) = m(x-X1)+Y1
- Die oben bestimmten Zahlenwerte einsetzen:
- Die Tangentengleichung ist: t(x) = 2·(x-1)-1
- Vereinfachen: t(x) = 2x-3 ✔
Gibt es noch andere Verfahren?
- Das Verfahren hier ist in der Schulmathematik eher unüblich.
- Andere Verfahren stehen unter Tangentengleichung aufstellen ↗
