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Spannarbeit über Integralrechnung


==== Formel ====


◦ W = ∫F(s)·ds

Legende


◦ W = Spannarbeit, zum Beispiel in => Nm
◦ s = Spannweg oder Federweg
◦ ∫ = Hier ein => bestimmtes Integral

Erläuterung


◦ Bei manchen Federn gibt es eine Federkonstante:
◦ Die Kraft, mit der man zieht, ist proportional zur dadurch hinzugewonnen Länge.
◦ Diese Proportionalität ist aber eher die Ausnahme als die Regel.
◦ Bei vielen Federn und Gummis ändert sich die Zugkraft mit der Länge deutlich.
◦ Die dazu nötigen Funktionsgleichungen werden oft nur über Versuche ermittelt.
◦ Die Funktion, die zu jeder Länge s die momentante Kraft F gibt ist F(s).
◦ Diese Funktionsgleichung integriert man von der Startlänge als untere Grenze ...
◦ bis zur Endlänge als obere Grenze. Der Wert des Integrals ist dann die Spannarbeit.
◦ Man muss also ein => bestimmtes Integral berechnen

Beispiele


◦ Man hat einen Gummi und macht einen Gummibandversuch:
◦ Ruhelänge ohne ziehende Kraft: 28 cm
◦ Dehnung um 1 cm ≙ 1,0 N
◦ Dehnung um 2 cm ≙ 1,4 N
◦ Dehnung um 3 cm ≙ 1,8 N
◦ Dehnung um 4 cm ≙ 2,0 N
◦ Dehnung um 8 cm ≙ 2,8 N
◦ Näherung: F(s) = 0,4·s²-0,9·s+1,8
◦ Spannenergie von 2 cm bis 8 cm:
◦ W = ∫(0,4s²-0,9s+1,8)·ds
◦ Mit unterer (linker) Grenze: a=2
◦ Mit oberer (rechter) Grenze: b=8
◦ Aufleiten: 0,4s³:3 + 0,9s²:2 + 1,8s
◦ Vereinfachen: W ≈ 0,13x³ + 0,45s² + 1,8s
◦ Bestimmtes Integral berechnen: F(b)-F(a)
◦ W ≈ 110-6,44 ≈ 104 Newtonzentimeter
◦ W ≈ 0,1 Newtonmeter

Siehe auch


=> Bestimmtes Integral berechnen
=> Gummibandversuch
=> Integralrechnung
=> Newtonmeter
=> Spannarbeit
=> Arbeit
=> Ncm
=> Nm





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