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Exponentielles Wachstum

Wenn x eins größer wird, dann wird y immer mit der gleichen Zahl malgenommen

Wachstum

◦ Wachstum meint hier sehr weit gefasst alles möglichen Dinge.
◦ Das Wachstum kann sich etwa auf die Geldmenge beim Sparen beziehen.
◦ Das Wachstum könnte auch die Anzahl Elefanten in einem Wildpark meinen.

Charakterisierung

Bei einem exponentiellen Wachstum nimmt die betrachtete Größe am Anfang nur sehr langsam zu, die Zunahme wirkt zunächst oft linear (z. B. CO2-Anstieg in der Atmosphäre von 1958 bis 2000, Stichwort Keeling-Kurve). Mit der Zeit wird das Wachstum aber immer stärker, ab einem bestimmten Zeitpunkt kann man es oft als "explosionsartig" bezeichnen. Das trifft zum Beispiel auf die Anzahl von Menschen auf der Erde ab etwa 1900 zu. Ein ähnliches Verhalten können auch ganzrationale Funktionen modellieren. Für die Exponentialfunktion charakteristisch ist aber immer, dass der Grenzwert in eine Richtung einer konstanten Zahl (oft 0) zustrebt und in die andere Richtung gegen unendlich geht.

Wachstumsschritte

◦ Mathematisch betrachtet man das Wachstum schrittweise.
◦ Ein Schritt kann zum Beispiel immer derselbe Zeitraum sein.
◦ Man könnte dann fragen: wie wächst die Geldmenge in einem Jahr?
◦ Oder: wie nimmt die Anzahl Elefanten in einem Monat zu?

Exponentiell

◦ Bei einem exponentiellen Wachstum kommt pro Wachstumsschritt ...
◦ immer derselbe Anteil der vorherigen Anzahl neu dazu.
◦ Beispiel: Pro Jahr vermehre sich eine Elefantengruppe so, ...
◦ dass es am Jahresende die Hälfte mehr Elefanten gibt wie am Jahresanfang.
◦ In Zahlen könnte das sein: 32 -> 48 -> 72 -> 108 -> 162 -> 243 ...

Konstanter Wachstumsfaktor

◦ Anstatt zu sagen, dass immer die Hälfte neu dazukommt, ...
◦ kann man auch sagen, dass der Wachstumsfaktor konstant sei.
◦ Als Formel: Alte Anzahl mal Wachstumsfaktor = neue Anzahl
◦ Im Elefantenbeispiel war der Wachstumsfaktor die Zahl 1,5.
◦ 32 mal 1,5 gab 48.
◦ 48 mal 1,5 gab 72.
◦ 72 mal 1,5 gab 108.
◦ Und so weiter.

x im Exponenten

◦ Wenn x die Anzahl der Wachstumsschritte meint ...
◦ und y oder f(x) steht für die Anzahl der wachsenden Dinge ...
◦ dann kann man Wachstumsvorgänge gut modellieren als Exponentialfunktion:

B(x) = a·q^x

Legende

◦ B(x) = Bestand oder Anzahl von den Dingen die Wachsen nach x Schritten
◦ a = Anfangsanzahl oder Anfangsbestand, mathematisch: beim 0-ten Schritt
◦ q = Wachstumsfaktor (größer 1 bei Wachstum, kleiner 1 bei Schrumpfen)
◦ x = Anzahl der Wachstumsschritte, in denen "q passiert".
◦ Mehr dazu unter => Erweiterte Exponentialfunktion

Siehe auch:

=> Erweiterte Exponentialfunktion [Übersicht]
=> Exponentialgleichung aus Versuch
=> Wachstumsmodelle [Beispiele]
=> Generationszeit berechnen
=> Keeling-Kurve [CO2]
=> Wachstumsfaktor
=> Wachstumsrate
=> Zinseszinsen