WH54 Fachwortlexikon
Lernwerkstatt Aachen GbR
Mathematik | Physik | Chemie


Bildbeschreibung und Urheberrecht

Ableiten über Umkehrregel


f'(x) = 1:(f⁻¹)' abgeleitet


Basiswissen


In der Mathematik, Physik oder Chemie: kurze Erklärung von Fachworten, Symbolen und Formeln

Legende


◦ f'(x) = erste Ableitung von f(x)
◦ f⁻¹ = Umkehrfunktion von f(x)
◦ (f⁻¹)' = Ableitung der Umkehrfunktion

Was ist eine Umkehrfunktion?


◦ Man hat f(x)=x² bzw. y=x²
◦ Funktionsgleichung nach x auflösen gibt die Umkehrfunktion:
◦ Die Umkehrfunktion: x = Wurzel aus y
◦ Mehr dazu unter => Umkehrfunktion

Regel


◦ f(x) soll abgeleitet werden zu f'(x).
◦ Erst die Umkehrfunktion von f(x) bilden.
◦ Dazu schreibt man statt f(x) kurz y.
◦ Man stellt dann um nach x.
◦ Dann davon die erste Ableitung bilden.
◦ Dann diese einsetzen: f'(x) = 1:(f⁻¹)'
◦ Wenn rechts vom Gleichzeichen noch ein y steht, dieses resubstituieren.
◦ Resubstitutieren heißt: für y den Funktionsterm mit x von f(x) einsetzen.
◦ Dann eventuell noch vereinfachen.
◦ Fertig.

Beispiele


◦ f(x) = x²
◦ f'(x) ist dann 1 durch die Ableitung der Umkehrfunktion.
◦ Die Umkehrfunktion von f(x) = x² ist x=√y oder x=y^0,5
◦ Die Umkehrfunktion abgeleitet ist: x' = 0,5y^(-0,5)
◦ Dann ist f'(x) = 1 durch [0,5y^(-0,5)]
◦ Für y jetzt x² einsetzen (weil y=x²):
◦ f'(x) = 1 durch [0,5(x²)^(-0,5)]
◦ Anwendung von => Potenzen von Potenzen
◦ f'(x) = 1 durch [0,5x^(-1)]
◦ Anwendung von => hoch minus
◦ f'(x) = 2x

Leibniz-Notation

◦ Für f'(x) gibt es auch die Schreibeweise dy/dx.
◦ Diese Schreibeweise nennt man die Leibniz-Notation.
◦ Mit ihr lautet die Umkehrregel: dy/dx = 1/[dx/dy]
◦ Siehe auch = Leibniz-Notation

Siehe auch


=> Umkehrfunktion
=> Ableiten






© Sabine & Gunter Heim, 2020