Bildbeschreibung und Urheberrecht

Umkehrfunktion



f⁻¹: x und y vertauscht und dann nach x aufgelöst


Beispiele


◦ Man hat y = 4x-12
◦ y meint dasselbe wie f(x).
◦ Man hat also f(x) = 4x-12
◦ Die Umkehrfunktion f⁻¹ ist dann f⁻¹(x) = 0,25+3

Umkehren


◦ Man vertauscht x und y in der Funktionsgleichung:
◦ Das gibt: x = 4y-12
◦ Dann nach y umstellen
◦ Das gibt y = 0,25x+3
◦ Das ist die Umkehrfunktion.
◦ Mehr unter => Umkehrfunktion bestimmen

Umkehrbarkeit


◦ Nicht jede Funktion kann umgekehrt werden zu einer Umkehrfunktion.
◦ Zur Erinnerung: bei einer Funktion darf jeder x-Wert nur genau einen zugeordneten y-Wert haben.
◦ Das muss auch für die umgekehrte Funktion f⁻¹(x) gelten. Es gilt unter folgenden alternativen Voraussetzungen:
◦ Der Graph von f(x) ist streng motonon steigend oder ...
◦ Der Graph von f(x) ist streng monoton fallend.

Als Spiegelung


◦ Gegeben ist eine ursprüngliche Funktion f(x) mit dem Graphen.
◦ Man stellt man sich zusäztlich den Graphen einer Geraden g(x) = x vor.
◦ Der Graph von g(x) = x geht durch (0|0) und halbiert den Winkel zwischen x- und y-Achse.
◦ Man spiegelt jetzt den Graphen von f(x) an der Geraden g(x).
◦ Das Ergebnis ist der Graph der Umkehrfunktion f⁻¹.

Als Rotation


◦ Der Graph der Umkehrfunktion f⁻¹ kann auch durch eine gedachte Drehung erzeugt werden.
◦ Man stellt sich den Graph von f(x) auf eine Glasplatte gezeichnet vor.
◦ Die x-Achse liegt unten und geht von links nach rechts.
◦ Die y-Achse liegt links und geht von unten nach oben.
◦ Nun rotiert man die Platte so, dass die Achsen vertauscht werden.
◦ Die x-Achse geht jetzt mit steigenden Werten von unten nach oben.
◦ Die y-Achse geht jetzt mit steigenden Werten von links nach rechts.
◦ Abschließend vertauscht man die Beschrift der Achsen:
◦ Die untere horizontale Achse heißt wieder x-Achse.
◦ Die linke vertikal Achse heißt wieder y-Achse.
◦ Der jetzt sichtbare Graph ist der Graph von f⁻¹(x).


Synonyme


=> Inverse Funktion
=> Umkehrfunktion
=> f⁻¹

Siehe auch


=> Ableiten über Umkehrregel [Anwendung]
=> Umkehrfunktion bestimmen
=> Funktion
=> eng





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