Umkehrfunktion
x und y vertauscht
Basiswissen
f⁻¹: x und y vertauscht und dann nach x aufgelöst: so bildet man für eine gegebene Funktion f(x) die dazugehörige Umkehrfunktion. Diese Umwandlung ist aber nicht für alle Funktionstypen möglich. Hier stehen eine Anleitung sowie die anschauliche Bedeutung der Umkehrfunktion.
Beispiele
- Man hat y = 4x-12
- y meint dasselbe wie f(x).
- Man hat also f(x) = 4x-12
- Die Umkehrfunktion f⁻¹ ist dann f⁻¹(x) = 0,25+3
Umkehren
- Anleitung:
- Man vertauscht x und y in der Funktionsgleichung:
- Das gibt: x = 4y-12
- Dann nach y umstellen
- Das gibt y = 0,25x+3
- Das ist die Umkehrfunktion.
- Mehr unter Umkehrfunktion bestimmen ↗
Umkehrbarkeit
- Machbarkeit:
- Nicht jede Funktion kann umgekehrt werden zu einer Umkehrfunktion.
- Zur Erinnerung: bei einer Funktion darf jeder x-Wert nur genau einen zugeordneten y-Wert haben.
- Das muss auch für die umgekehrte Funktion f⁻¹(x) gelten. Es gilt unter folgenden alternativen Voraussetzungen:
- Der Graph von f(x) ist streng motonon steigend oder ...
- Der Graph von f(x) ist streng monoton fallend.
Als Spiegelung
- Anschaulich:
- Gegeben ist eine ursprüngliche Funktion f(x) mit dem Graphen.
- Man stellt man sich zusäztlich den Graphen einer Geraden g(x) = x vor.
- Der Graph von g(x) = x geht durch (0|0) und halbiert den Winkel zwischen x- und y-Achse.
- Man spiegelt jetzt den Graphen von f(x) an der Geraden g(x).
- Das Ergebnis ist der Graph der Umkehrfunktion f⁻¹.
Als Rotation
- Anschaulich:
- Der Graph der Umkehrfunktion f⁻¹ kann auch durch eine gedachte Drehung erzeugt werden.
- Man stellt sich den Graph von f(x) auf eine Glasplatte gezeichnet vor.
- Die x-Achse liegt unten und geht von links nach rechts.
- Die y-Achse liegt links und geht von unten nach oben.
- Nun rotiert man die Platte so, dass die Achsen vertauscht werden.
- Die x-Achse geht jetzt mit steigenden Werten von unten nach oben.
- Die y-Achse geht jetzt mit steigenden Werten von links nach rechts.
- Abschließend vertauscht man die Beschrift der Achsen:
- Die untere horizontale Achse heißt wieder x-Achse.
- Die linke vertikal Achse heißt wieder y-Achse.
- Der jetzt sichtbare Graph ist der Graph von f⁻¹(x).