Scheitelpunkt aus Normalform
Methoden
Basiswissen
f(x)=x²-6x+12 ist als Gleichung einer quadratischen Funktion, auch Parabelgleichungen genannt, gegeben. Hier stehen verschiedene Methode, wie man daraus den Scheitelpunkt bestimmen kann.
Gegeben
- Man hat eine quadratische Funktion in der Normalform gegeben.
- Die Normalform ist: f(x)=x²+px+q oder f(x)=x²+ax+b
- Wichtig: vor dem x² darf kein Faktor stehen, auch kein Minus.
- x² oder 1x² wären OK. Die 1 als Vorfaktor kann man weglassen.
- Bei Vorfaktoren siehe unter Scheitelpunkt aus allgemeiner Form ↗
Gesucht
- Gesucht ist der Scheitelpunkt.
- Das ist bei einer Parabel immer der höchste oder tiefste Punkt.
- Bei f(x)=x² wäre es zum Beispiel der Punkt (0|0).
Verfahren
- Es gibt verschiedene Verfahren, um den Scheitelpunkt zu bestimmen.
- Die am meisten verwendeten werder hier kurz vorgestellt.
Quadratische Ergänzung
- Man wendet eine quadratische Ergänzung auf die Normalform an.
- Dadurch erhält man die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung.
- Für f(x)=x²-6x+12 ist die SPF f(x)=(x-3)²+3.
- Der Scheitelpunkt ist damit beim Punkt (3|3).
- Das kann man aus de Scheitelpunktform direkt ablesen.
- Wie das geht steht unter Scheitelpunkt über quadratische Ergänzung ↗
Ableitung
- Man bildet die erste Ableitung von der f(x).
- Für f(x)=x²-6x+12 wäre das f'(x)=2x-6.
- Man seht f'(x) gleich 0 und löst nach x auf:
- Im Beispiel: 2x-6=0 umgeformt gibt x=3.
- Das ist der x-Wert des Scheitelpunktes.
- x-Wert einsetzen in f(x) gibt y=3.
- Also ist der Scheitelpunkt bei SP(3|3).
- Mehr unter Scheitelpunkt über Ableitung ↗
Graphisch
- Man hat den Funktionsgraphen gegeben.
- Daraus kann man direkt den Scheitelpunkt ablesen.
- Mehr dazu unter Scheitelpunkt aus Graph ↗
Sonstige
- Das wären die üblichsten Verfahren, weitere Methoden unter: